😍 Kalkulator obwodu (okrąg, trójkąt, prostokąt, kwadrat, równoległobok, trapez, romb)

Kalkulator obwodu

Obwód to cecha, którą można przypisać dowolnej płaskiej (i nie tylko) sylwetce. Jego granice można scharakteryzować za pomocą obwodu lub sumy długości boków. Ta cecha jest odpowiednia również dla wielu figur wolumetrycznych.

Definicja i ogólna charakterystyka

W geometrii obwód jest oznaczony dużą łacińską literą „P” - od łacińskiego słowa obwód, które z kolei pochodzi od starożytnego greckiego περίμετρον (koło). Cecha ta była wykorzystywana jeszcze przed naszą erą i pozwalała wyznaczać granice lądów i innych płaskich powierzchni.

Wszystkie kształty, które zawierają kąty — zaczynając od trójkąta, a kończąc na złożonych wielościanach — można przedstawić jako linie, które są oznaczone dużymi literami łacińskimi w porządku alfabetycznym: a, b, c, d itd. Zatem suma boków trójkąta będzie zawsze wyrażana jako a + b + c, a trapezów - jako a + b + c + d.

Boki płaskiego wielokąta można również przedstawić jako odcinki między dwoma punktami, które są oznaczone dużymi literami łacińskimi: AB, BC, CD itd. Niezależnie od użytej notacji obwód jest zawsze równy sumie długości boków i jest wyrażany w tych samych jednostkach.

Tło historyczne

Potrzeba obliczania obwodów pojawiła się w starożytności - kiedy konieczne było wyznaczanie granic działek. Następnie ta cecha została wykorzystana w architekturze i budownictwie: podczas układania fundamentów i obliczania wymaganej ilości materiałów budowlanych.

Wiadomo, że obwód koła w starożytnym Egipcie został obliczony już w XV-XIV wieku pne. Wykorzystano do tego stałą, znaną dziś jako liczba „pi” (π) i równą 3,14… Choć swoją współczesną nazwę i oznaczenie otrzymała znacznie później – w 1706 roku.

Starożytni Egipcjanie znali liczbę π z dokładnością do 10 miejsc po przecinku: 3,1415926535..., podczas gdy współczesna nauka zna 100 bilionów cyfr. Niemniej jednak wystarczą nawet dwa znaki (3.14), aby obliczyć obwód z wystarczająco dużą dokładnością. A długość koła jest w rzeczywistości również jego obwodem, odpowiednio: P = 2πr lub P = πd. Te formuły, ale z inną notacją, były znane starożytnym Egipcjanom ponad 3500 lat temu.

Dużo później, w VI-V wieku pne, starożytny grecki naukowiec Pitagoras użył pośrednio trygonometrii do znalezienia obwodów.

Ponieważ znajomość wszystkich boków trójkąta jest warunkiem wstępnym znalezienia obwodu, nieznane boki można znaleźć za pomocą znanych kątów. W tym celu Pitagoras użył sinusa - stosunku przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej i cosinusa - stosunku sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej. Obliczywszy w ten sposób pożądaną długość boku, można ją uwzględnić w wyrażeniu P = a + b + c i znaleźć obwód trójkąta.

A w III-II wieku pne nie mniej znany starożytny grecki naukowiec Archimedes znalazł sposób na przybliżone określenie obwodów: za pomocą regularnych wielokątów opisanych wokół koła.

Korelacja z obszarem

Badania obwodów figur geometrycznych prowadzono równolegle z obliczeniami ich pól. Pomimo powszechnego przekonania, że im większy obszar, tym większy obwód, cechy te nie są ze sobą w żaden sposób powiązane. Na przykład, jeśli weźmiesz prostokąt o szerokości 0,001 dowolnych jednostek i długości 1000 jednostek, jego obwód wyniesie 2000, a dla prostokąta o szerokości 0,5 i długości 2 będzie równy 5. W w tym przypadku powierzchnia obu prostokątów będzie równa jeden.

Sytuacja z figurami wielokonstrukcyjnymi wygląda jeszcze wyraźniej. Obserwuje się w nich odwrotny wzór: im większy obwód, tym mniejszy obszar i odwrotnie. W V wieku naszej ery stało się to przyczyną nierównomiernego rozmieszczenia obszarów zasiewów wśród chłopów. Nie wiedząc o tym schemacie, dzielili działki po obwodzie, a nie według powierzchni, chociaż ilość zebranego plonu jest zawsze proporcjonalna do powierzchni, a nie do obwodu. Pisał o tym starożytny filozof Proclus Diadoch, szef Akademii Platońskiej.

Nieco później, w VI wieku naszej ery, Indie wprowadziły definicję półobwodu, wartości oznaczanej obecnie we wzorach wielką literą „p”. Służy do obliczania powierzchni wielu kształtów geometrycznych i może znacznie uprościć ich pisanie. Jak sama nazwa wskazuje, aby obliczyć półobwód, musisz dodać długości wszystkich boków figury i podzielić wynik przez dwa.

Nie wiadomo na pewno, kto i kiedy po raz pierwszy w historii zaczął używać takiej cechy jak obwód do celów praktycznych. Istniał już w starożytnym Egipcie, ale nie jest faktem, że to Egipcjanie go wymyślili i wprowadzili do obiegu. W całej późniejszej historii cywilizacji był szeroko stosowany we wzorach geometrycznych, a dziś jest jedną z podstawowych cech, obok pola i objętości.

Jak obliczyć obwód (wzory na obwód)

Jedną z najważniejszych cech geometrycznych jest obwód, czyli całkowita długość krawędzi kształtu. W przypadku figur zaokrąglonych (okręgi, owale, elipsy) jest to jedna linia ciągła, aw przypadku wielościanów kilka linii zsumowanych ze sobą wzdłuż długości.

Obwód ma ogromne znaczenie w sektorach gospodarki i przemysłu. Na przykład potrzebne jest obliczenie długości ogrodzeń wokół terenu, określenie długości nici nawiniętych na szpule, określenie odległości, jaką pokonuje koło podczas pełnego obrotu.

Aby obliczyć obwody różnych kształtów geometrycznych, istnieją wzory, które warto rozważyć bardziej szczegółowo.

Trójkąt

Istnieje tylko jeden sposób określenia obwodu dowolnego trójkąta — ostrego, rozwartego, prostokątnego i równobocznego — znając długość każdego z jego boków. Następnie wystarczy je podstawić do wzoru:

P = a + b + c.

Gdzie „P” to obwód kształtu, a, b i c to długości jego boków. Jeśli jedna z wartości jest nieznana, można ją określić na podstawie kątów lub za pomocą funkcji trygonometrycznych. I dopiero potem - oblicz żądany obwód.

Kwadrat

W przeciwieństwie do trójkątów, kwadraty są obliczane przy użyciu dwóch wzorów: długości boków i przekątnych. Formuły wyglądają tak:

P = 4 ⋅ a.
P = re ⋅ 2 ⋅ √ 2.

W związku z tym a to długość boku kwadratu, a d to długość jego przekątnej.

Prostokąt i równoległobok

Prostokąt ma 4 kąty proste, podczas gdy równoległobok ma 2 kąty rozwarte i 2 ostre. Pomimo tej zasadniczej różnicy pola figur są obliczane za pomocą jednego, ogólnego wzoru:

P = 2 ⋅ (a + b).

Przez a i b rozumie się dwa graniczące ze sobą boki figury, różniące się długością. Zarówno w prostokącie, jak i równoległoboku są zawsze po 2 pary.

Diament

Wszystkie boki rombu są równe i tylko kąty między nimi mogą się różnić. Dlatego jego obwód jest obliczany przy użyciu tego samego wzoru co kwadrat:

P = 4 ⋅ a.

W związku z tym P to obwód figury, a to długość twarzy. Wyrażenie obowiązuje dla dowolnego rombu, niezależnie od kątów między bokami.

Trapez

Wzór do obliczania obwodu trapezu jest również elementarny i wygląda następująco:

P = a + b + c + d.

To znaczy jako suma długości boków a, b, c i d, które różnią się od siebie. Nie ma innego sposobu na uzyskanie pożądanego rezultatu.

Okrąg

W przypadku koła obwód jest równy obwodowi koła, co oznacza, że jest obliczany przy użyciu standardowych wzorów:

P = 2 ⋅ π ⋅ r.
P = π ⋅ d.

Gdzie r to promień okręgu, d to jego średnica, π to stała równa 3,1415...

Tak więc obliczenie obwodów figur płaskich to elementarne operacje matematyczne, które w większości przypadków sprowadzają się do prostego zsumowania długości boków.

Dzięki prostym wartościom całkowitym możesz obliczyć w myślach lub na kartce papieru. Jednak w przypadku bardziej złożonych obliczeń, w których długości boków są przedstawiane jako liczby z dużą liczbą miejsc po przecinku, łatwiej jest skorzystać z kalkulatora online. Wystarczy wpisać znane wartości w jego puste pola, a po naciśnięciu przycisku od razu uzyskasz pożądany rezultat.

Kalkulator obwodu

Inne narzędzia