Калькулятор периметра
Периметр — характеристика, яку можна віднести до будь-якої плоскої (і не лише) фігури. Її межі можна охарактеризувати периметром або сумою довжин сторін. Ця характеристика також підходить для багатьох об'ємних фігур.
Визначення та загальні характеристики
У геометрії периметр позначається великою латинською літерою «P» — від латинського слова perimeter, яке, своєю чергою, походить від давньогрецького περίμετρον (коло). Ця характеристика використовувалася ще до нашої ери і дозволяла визначати межі земельних ділянок та інших плоских поверхонь.
Усі фігури, що містять у собі кути — починаючи з трикутника і закінчуючи складними багатогранниками — можна уявити у вигляді ліній, що позначаються великими латинськими літерами в алфавітному порядку: a, b, c, d тощо. Так, сума сторін трикутника завжди буде виражена як a+b+c, а трапеції — як a+b+c+d.
Сторони плоского багатокутника також можна подати у вигляді відрізків між двома точками, які позначають великими латинськими літерами: AB, BC, CD тощо. Незалежно від використовуваних позначень, периметр завжди дорівнює сумі довжин сторін, і вважається в тих самих одиницях вимірювання.
Історична довідка
Необхідність у розрахунку периметрів виникла в давнину — коли треба було розмежовувати земельні ділянки. Згодом ця характеристика знайшла застосування в архітектурі та будівництві: під час закладання фундаментів та розрахунку необхідної кількості будматеріалів.
Відомо, що периметр кола у Стародавньому Єгипті вміли вираховувати ще у XV-XIV століттях до нашої ери. Для цього використовувалася константа, сьогодні відома як число «пі» (π) і дорівнює 3,14... Хоча свою сучасну назву та позначення вона отримала набагато пізніше — у 1706 році.
Давнім єгиптянам серед π було відомо до 10 знаків після коми: 3,1415926535..., а сучасна наука знає 100 трильйонів знаків. Проте навіть двох знаків (3,14) достатньо для того, щоб вираховувати довжину кола з досить високою точністю. А довжина кола, по суті, є його периметром, відповідно: P = 2πr, або P = πd. Ці формули, але з іншими позначеннями, були відомі давнім єгиптянам понад 3500 років тому.
Значно пізніше — у VI-V століттях до нашої ери — давньогрецький учений Піфагор опосередковано використовував для знаходження периметрів тригонометрію.
Оскільки обов'язковою умовою для знаходження периметра є знання всіх сторін трикутника, його невідомі сторони можна знаходити за допомогою відомих кутів. Для цього Піфагор застосовував синус - відношення протилежного катета до гіпотенузи, і косинус - відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Обчисливши таким чином довжину сторони, що шукається, її можна включити у вираз P = a + b + c і дізнатися периметр трикутника.
А в III-II століттях до нашої ери не менш відомий давньогрецький вчений Архімед знайшов спосіб визначення периметрів методом апроксимації: за допомогою описаних навколо кола правильних багатокутників.
Кореляція з площею
Дослідження периметрів геометричних фігур проводилися паралельно з обчисленнями їх площ. Незважаючи на поширене переконання, що чим більша площа, тим більший периметр, ці характеристики ніяк не пов'язані між собою. Наприклад, якщо взяти прямокутник шириною 0,001 умовних одиниці виміру і довжиною 1000 одиниць, його периметр складе 2000, а у прямокутника шириною 0,5 і довжиною 2 він дорівнюватиме 5. При цьому площа обох прямокутників дорівнюватиме одиниці.
Наочніше виглядає ситуація з багатоструктурними фігурами. Вони спостерігається зворотна закономірність: що більше периметр, то менше площа, і навпаки. У V столітті нашої ери це спричинило нерівномірний розподіл посівних площ між селянами. Не знаючи про цю закономірність, вони ділили ділянки на периметрах, а не на площах, хоча кількість зібраного врожаю завжди пропорційна площі, а не периметру. Про це писав ще античний філософ Прокл Діадох – керівник Платонівської Академії.
Трохи пізніше - у VI столітті нашої ери - в Індії було введено визначення напівпериметра - величини, яка сьогодні позначається у формулах великої літерою "p". Вона використовується для обчислення площ багатьох геометричних фігур і дозволяє суттєво спростити їхнє написання. Як відомо з самої назви, щоб обчислити напівпериметр, потрібно скласти довжини всіх сторін фігури та розділити отриманий результат на дві.
Достовірно невідомо, хто і коли вперше в історії почав використовувати в практичних цілях таку характеристику як периметр. Вона вже існувала в Стародавньому Єгипті, але не факт, що саме єгиптяни винайшли та ввели її в обіг. Протягом усієї наступної історії цивілізацій вона повсюдно використовувалася в геометричних формулах, і сьогодні є однією з основних характеристик, нарівні з площею та обсягом.
