Kalkulator perimetra

Perimetar je karakteristika koja se može pripisati bilo kojoj ravnoj (i ne samo) figuri. Njegove granice se mogu okarakterisati perimetrom, ili zbirom dužina stranica. Ova karakteristika je takođe pogodna za mnoge volumetrijske figure.

Definicija i opšte karakteristike

U geometriji, perimetar se označava velikim latinskim slovom "P" - od latinske reči perimetar, koja, pak, potiče od starogrčkog perimetron (krug). Ova karakteristika je korišćena i pre naše ere i omogućavala je određivanje granica zemljišta i drugih ravnih površina.

Svi oblici koji sadrže uglove – počev od trougla i završavajući složenim poliedrima – mogu se predstaviti kao linije, koje su označene velikim latiničnim slovima po abecednom redu: a, b, c, d itd. Dakle, zbir stranica trougla će uvek biti izražen kao a + b + c, a trapeza - kao a + b + c + d.

Stranice ravnog mnogougla se takođe mogu predstaviti kao segmenti između dve tačke, koje su označene velikim latiničnim slovima: AB, BC, CD itd. Bez obzira na korišćenu notaciju, obim je uvek jednak zbiru dužina stranica i smatra se u istim jedinicama.

Istorijska pozadina

Potreba za izračunavanjem perimetara nastala je u davna vremena - kada je bilo potrebno razgraničiti zemljišne parcele. Kasnije je ova karakteristika korišćena u arhitekturi i građevinarstvu: prilikom postavljanja temelja i izračunavanja potrebne količine građevinskog materijala.

Poznato je da je obim kruga u starom Egiptu izračunat još u 15.-14. veku pre nove ere. Za to je korišćena konstanta, danas poznata kao broj „pi“ (p) i jednaka 3,14... Iako je moderno ime i oznaku dobila mnogo kasnije – 1706. godine.

Drevni Egipćani su znali do 10 decimalnih mesta u broju p: 3,1415926535..., dok moderna nauka zna 100 triliona cifara. Ipak, čak i dva znaka (3.14) su dovoljna da se obim izračuna sa dovoljno visokom tačnošću. A dužina kruga je, u stvari, i njegov perimetar, respektivno: P = 2pr, ili P = pd. Ove formule, ali sa različitim oznakama, bile su poznate starim Egipćanima pre više od 3500 godina.

Mnogo kasnije, u 6.-5. veku pre nove ere, drevni grčki naučnik Pitagora je indirektno koristio trigonometriju za pronalaženje perimetara.

Pošto je poznavanje svih stranica trougla preduslov za pronalaženje perimetra, nepoznate stranice se mogu pronaći pomoću poznatih uglova. Za ovo je Pitagora koristio sinus - odnos suprotnog kraka prema hipotenuzi i kosinus - odnos susednog kraka prema hipotenuzi. Pošto smo tako izračunali željenu dužinu stranice, možemo je uključiti u izraz P = a + b + c i saznati obim trougla.

I u 3.-2. veku pre nove ere, ništa manje poznati starogrčki naučnik Arhimed je pronašao način da odredi perimetre aproksimacijom: koristeći pravilne poligone opisane oko kruga.

Korelacija sa površinom

Proučavanja perimetara geometrijskih figura vršena su paralelno sa proračunima njihovih površina. Uprkos opštem verovanju da što je veća površina, to je veći perimetar, ove karakteristike nisu ni na koji način povezane. Na primer, ako uzmete pravougaonik širine 0,001 proizvoljne jedinice i dužine od 1000 jedinica, njegov obim će biti 2000, a za pravougaonik širine 0,5 i dužine 2 će biti jednak 5. U u ovom slučaju, površina oba pravougaonika biće jednaka jedan.

Situacija sa višestrukim figurama izgleda još jasnija. Kod njih se primećuje obrnuti obrazac: što je veći obim, to je manja površina, i obrnuto. U 5. veku nove ere to je postalo razlogom neravnomerne raspodele zasejanih površina među seljacima. Ne znajući za ovaj obrazac, parcele su podelili po obodu, a ne po površinama, iako je količina požnjevenog roda uvek proporcionalna površini, a ne perimetru. O tome je pisao antički filozof Proklo Dijadoh, šef Platonove akademije.

Nešto kasnije, u 6. veku nove ere, Indija je uvela definiciju poluperimetra, vrednost koja se sada u formulama označava velikim slovom „p“. Koristi se za izračunavanje površina mnogih geometrijskih oblika i može u velikoj meri da pojednostavi njihovo pisanje. Kao što naziv govori, da biste izračunali poluperimetar, potrebno je da saberete dužine svih strana figure i rezultat podelite sa dva.

Ne zna se pouzdano ko je i kada prvi put u istoriji počeo da koristi takvu karakteristiku kao perimetar u praktične svrhe. Već je postojao u starom Egiptu, ali nije činjenica da su ga Egipćani izmislili i pustili u promet. Kroz kasniju istoriju civilizacija, bio je naširoko korišćen u geometrijskim formulama, a danas je jedna od osnovnih karakteristika, zajedno sa površinom i zapreminom.

Jedna od najvažnijih geometrijskih karakteristika je obim, koji predstavlja ukupnu dužinu ivice oblika. U slučaju zaobljenih figura (krugovi, ovali, elipse), ovo je jedna puna linija, a u slučaju poliedara nekoliko linija koje su sabrane jedna drugoj po dužini.

Perimetar je od najveće važnosti u ekonomskom i industrijskom sektoru. Na primer, potrebno je izračunati dužinu ograde oko zemljišta, odrediti dužinu konca namotanih na kalemove, odrediti razdaljinu koju točak pređe tokom svog punog obrtaja.

Da biste izračunali perimetre različitih geometrijskih oblika, postoje formule koje vredi detaljnije razmotriti.

Trougao

Postoji samo jedan način da se odredi obim bilo kog trougla - oštrog, tupog, pravog i jednakostraničnog - znajući dužinu svake njegove stranice. Nakon toga, dovoljno je da ih zamenite u formulu:

P = a + b + c.

Gde je „P“ obim oblika, a, b i c su dužine njegovih stranica. Ako je jedna od vrednosti nepoznata, može se odrediti iz uglova, ili pomoću trigonometrijskih funkcija. I tek nakon toga - izračunajte željeni perimetar.

Kvadrat

Za razliku od trouglova, kvadrati se izračunavaju pomoću dve formule: korišćenjem dužina stranica i dijagonala. Formule izgledaju ovako:

P = 4 ⋅ a.
P = d ⋅ 2 ⋅ √2.

Prema tome, a je dužina stranice kvadrata, a d dužina njegove dijagonale.

Pravougaonik i paralelogram

Pravougaonik ima 4 prava ugla, dok paralelogram ima 2 tupa i 2 oštra ugla. Uprkos ovoj fundamentalnoj razlici, površine figura se izračunavaju pomoću jedne, opšte formule:

P = 2 ⋅ (a + b).

Pod a i b se podrazumevaju dve strane figure koje se graniče jedna sa drugom, a razlikuju se po dužini. I u pravougaoniku i u paralelogramu uvek ih ima po 2 para.

Dijamant

Sve strane romba su jednake i mogu se razlikovati samo uglovi između njih. Zbog toga se njegov obim izračunava koristeći istu formulu kao kvadrat:

P = 4 ⋅ a.

Prema tome, P je obim figure, a je dužina lica. Izraz važi za bilo koji romb, bez obzira na uglove između stranica.

Trapez

Formula za izračunavanje obima trapeza je takođe elementarna i izgleda ovako:

P = a + b + c + d.

To jest, kao zbir dužina stranica a, b, c i d, koje se razlikuju jedna od druge. Ne postoji drugi način da se postigne željeni rezultat.

Krug

U slučaju kruga, obim je jednak obimu kruga, što znači da se izračunava pomoću standardnih formula:

P = 2 ⋅ p ⋅ r.
P = p ⋅ d.

Gde je r poluprečnik kruga, d je njegov prečnik, p je konstanta jednaka 3,1415...

Dakle, izračunavanje obima ravnih figura je elementarne matematičke operacije, koje se u većini slučajeva svode na jednostavno sabiranje dužina stranica.

Sa jednostavnim, celobrojnim vrednostima, možete izračunati u svom umu ili na parčetu papira. Ali za složenije proračune, gde su dužine stranica predstavljene kao brojevi sa velikim brojem decimalnih mesta, lakše je koristiti onlajn kalkulator. Dovoljno je da u njegova prazna polja unesete poznate vrednosti, a nakon pritiska na dugme, odmah ćete dobiti željeni rezultat.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Kalkulator perimetra