😍 Kalkulator obsega (krog, trikotnik, pravokotnik, kvadrat, paralelogram, trapez, romb)

Kalkulator obsega

Obod je značilnost, ki jo lahko pripišemo kateri koli ravni (in ne samo) figuri. Njegove meje lahko označimo z obsegom ali vsoto dolžin stranic. Ta lastnost je primerna tudi za številne volumetrične figure.

Opredelitev in splošne značilnosti

V geometriji obseg označujemo z veliko latinsko črko "P" - iz latinske besede perimeter, ki pa izhaja iz starogrške περίμετρον (krog). Ta lastnost je bila uporabljena že pred našim štetjem in je omogočala določanje meja zemlje in drugih ravnih površin.

Vse oblike, ki vsebujejo kote - začenši s trikotnikom in konča s kompleksnimi poliedri - je mogoče predstaviti kot črte, ki so označene z velikimi latiničnimi črkami v abecednem vrstnem redu: a, b, c, d itd. Tako bo vsota strani trikotnika vedno izražena kot a + b + c, trapeza pa kot a + b + c + d.

Stranice ravnega mnogokotnika lahko predstavimo tudi kot odseke med dvema točkama, ki ju označujemo z velikimi latiničnimi črkami: AB, BC, CD itd. Ne glede na uporabljeni zapis je obseg vedno enak vsoti dolžin stranic in se šteje v istih enotah.

Zgodovinsko ozadje

Potreba po izračunu perimetrov se je pojavila v starih časih - ko je bilo treba razmejiti zemljiške parcele. Kasneje je bila ta lastnost uporabljena v arhitekturi in gradbeništvu: pri postavljanju temeljev in izračunu potrebne količine gradbenega materiala.

Znano je, da je bil obseg kroga v starem Egiptu izračunan že v 15.–14. stoletju pr. Za to je bila uporabljena konstanta, danes znana kot število "pi" (π) in enaka 3,14 ... Čeprav je svoje sodobno ime in oznako prejela veliko kasneje - leta 1706.

Stari Egipčani so poznali do 10 decimalnih mest v številu π: 3,1415926535..., medtem ko sodobna znanost pozna 100 trilijonov števk. Kljub temu sta že dva znaka (3.14) dovolj za izračun obsega z dovolj visoko natančnostjo. In dolžina kroga je pravzaprav tudi njegov obseg, oziroma: P = 2πr ali P = πd. Te formule, vendar z drugačnim zapisom, so poznali stari Egipčani pred več kot 3500 leti.

Veliko pozneje, v 6.–5. stoletju pr. n. št., je starogrški znanstvenik Pitagora posredno uporabil trigonometrijo za iskanje obodov.

Ker je predpogoj za iskanje obsega poznavanje vseh stranic trikotnika, je neznane stranice mogoče najti z uporabo znanih kotov. Za to je Pitagora uporabil sinus - razmerje med nasprotno nogo in hipotenuzo in kosinus - razmerje med sosednjo nogo in hipotenuzo. Ko tako izračunamo želeno dolžino stranice, jo lahko vključimo v izraz P = a + b + c in ugotovimo obseg trikotnika.

In v 3.–2. stoletju pr. n. št. je nič manj slavni starogrški znanstvenik Arhimed našel način, kako približno določiti obode: z uporabo pravilnih mnogokotnikov, opisanih okoli kroga.

Korelacija s površino

Študije obsegov geometrijskih likov so bile izvedene vzporedno z izračuni njihovih površin. Kljub splošnemu prepričanju, da večja kot je površina, večji je obseg, te značilnosti nikakor niso povezane. Na primer, če vzamete pravokotnik s širino 0,001 poljubne enote in dolžino 1000 enot, bo njegov obseg 2000, za pravokotnik s širino 0,5 in dolžino 2 pa bo enak 5. V v tem primeru bo površina obeh pravokotnikov enaka ena.

Situacija z večstrukturnimi figurami je videti še bolj jasna. Pri njih opazimo obraten vzorec: večji kot je obseg, manjša je površina in obratno. V 5. stoletju našega štetja je to postalo razlog za neenakomerno porazdelitev posejanih površin med kmetje. Ker niso vedeli za ta vzorec, so parcele razdelili po obodu in ne po površinah, čeprav je količina pospravljenega pridelka vedno sorazmerna s površino, ne z obodom. O tem je pisal starodavni filozof Proclus Diadoch, vodja Platonove akademije.

Malo kasneje, v 6. stoletju našega štetja, je Indija uvedla definicijo polobod, vrednost, ki je zdaj v formulah označena z veliko začetnico "p". Uporablja se za izračun ploščin številnih geometrijskih likov in lahko močno poenostavi njihovo pisanje. Kot pove že ime, morate za izračun polperimetra sešteti dolžine vseh strani figure in rezultat deliti z dve.

Ni zagotovo znano, kdo in kdaj je prvič v zgodovini začel uporabljati takšno značilnost, kot je obod, v praktične namene. Obstajal je že v starem Egiptu, vendar ni dejstvo, da so ga Egipčani izumili in dali v obtok. Skozi kasnejšo zgodovino civilizacij se je pogosto uporabljal v geometrijskih formulah, danes pa je poleg površine in volumna ena temeljnih karakteristik.

Kako najti obod (formule za obod)

Ena najpomembnejših geometrijskih značilnosti je obseg, ki je skupna dolžina obrobe oblike. Pri zaobljenih figurah (krogi, ovali, elipse) je to ena polna črta, pri poliedrih pa več črt, ki se med seboj seštevajo po dolžini.

V gospodarskem in industrijskem sektorju je območje izrednega pomena. Na primer, potrebno je izračunati dolžino ograj okoli zemlje, določiti dolžino niti, navitih na tuljave, določiti razdaljo, ki jo kolo prevozi med svojim polnim obratom.

Za izračun obsegov različnih geometrijskih oblik obstajajo formule, ki jih je vredno podrobneje preučiti.

Trikotnik

Obstaja le en način za določitev obsega katerega koli trikotnika - ostrokotnega, topokotnega, pravokotnega in enakostraničnega - tako, da poznamo dolžino vsake njegove stranice. Po tem je dovolj, da jih nadomestite v formulo:

P = a + b + c.

Kjer je "P" obseg oblike, so a, b in c dolžine njenih stranic. Če ena od vrednosti ni znana, jo je mogoče določiti iz kotov ali s pomočjo trigonometričnih funkcij. In šele po tem - izračunajte želeni obseg.

Kvadrat

Za razliko od trikotnikov se kvadrati izračunajo z dvema formulama: z uporabo dolžin stranic in diagonal. Formule izgledajo takole:

P = 4 ⋅ a.
P = d ⋅ 2 ⋅ √2.

V skladu s tem je a dolžina stranice kvadrata, d pa dolžina njegove diagonale.

Pravokotnik in paralelogram

Pravokotnik ima 4 prave kote, medtem ko ima paralelogram 2 topa in 2 ostra kota. Kljub tej temeljni razliki se površine figur izračunajo z eno samo splošno formulo:

P = 2 ⋅ (a + b).

Z a in b sta mišljeni dve strani figure, ki mejita druga na drugo in se razlikujeta po dolžini. Tako v pravokotniku kot v paralelogramu sta vedno 2 para.

Diamanti

Vse stranice romba so enake in le koti med njimi so lahko različni. Zato se njegov obseg izračuna z isto formulo kot kvadrat:

P = 4 ⋅ a.

V skladu s tem je P obseg figure, a je dolžina obraza. Izraz velja za vsak romb, ne glede na kote med stranicama.

Trapez

Formula za izračun obsega trapeza je prav tako elementarna in izgleda takole:

P = a + b + c + d.

To je kot vsota dolžin strani a, b, c in d, ki so druga od druge. Ni drugega načina za doseganje želenega rezultata.

Krog

V primeru kroga je obseg enak obsegu kroga, kar pomeni, da se izračuna z uporabo standardnih formul:

P = 2 ⋅ π ⋅ r.
P = π ⋅ d.

Kjer je r polmer kroga, d njegov premer, π konstanta, ki je enaka 3,1415 ...

Izračun obsega ravninskih likov je torej elementarna matematična operacija, ki se v večini primerov zmanjša na preprosto seštevanje dolžin stranic.

S preprostimi celoštevilskimi vrednostmi lahko izračunate v mislih ali na listu papirja. Toda za zahtevnejše izračune, kjer so dolžine stranic predstavljene kot številke z velikim številom decimalnih mest, je lažje uporabiti spletni kalkulator. Dovolj je, da v prazna polja vnesete znane vrednosti in po pritisku na gumb boste takoj dobili želeni rezultat.

Kalkulator obsega

Drugi pripomočki