Формула периметра прямоугольника, треугольника, квадрата, параллелограмма, трапеции
Периметр — характеристика, которую можно отнести к любой плоской (и не только) фигуре: кругу, квадрату, ромбу, трапеции, эллипсу. Её границы можно охарактеризовать периметром, или суммой длин сторон. Эта характеристика также подходит для многих объёмных фигур, например — для катушек, колёс, ограждений, контейнеров и так далее.
Определение и общие характеристики
В геометрии периметр обозначается заглавной латинской буквой «P» — от латинского слова perimeter, которое, в свою очередь, происходит от древнегреческого περίμετρον (окружность). Эта характеристика использовалась ещё до нашей эры, и позволяла определять границы земельных участков и других плоских поверхностей.
Все фигуры, содержащие в себе углы — начиная с треугольника и заканчивая сложными многогранниками — можно представить в виде линий, которые обозначаются прописными латинскими буквами в алфавитном порядке: a, b, c, d и так далее. Так, сумма сторон треугольника всегда будет выражена как a + b + c, а трапеции — как a + b + c + d.
Стороны плоского многоугольника также можно представить в виде отрезков между двумя точками, которые обозначают заглавными латинскими буквами: AB, BC, CD и так далее. Вне зависимости от используемых обозначений, периметр всегда равен сумме длин сторон, и считается в тех же единицах измерения: миллиметрах, сантиметрах, метрах, километрах.
Историческая справка
Необходимость в расчёте периметров возникла в глубокой древности — когда нужно было разграничивать земельные участки. Впоследствии эта характеристика нашла применение в архитектуре и строительстве: при закладке фундаментов и расчёте необходимого количества стройматериалов.
Известно, что периметр круга в Древнем Египте умели высчитывать ещё в XV–XIV веках до нашей эры. Для этого использовалась константа, сегодня известная как число «пи» (π) и равная 3,14... Хотя своё современное название и обозначение она получила гораздо позже — в 1706 году.
Древним египтянам в числе π было известно до 10 знаков после запятой: 3,1415926535..., а современная наука знает 100 триллионов знаков. Тем не менее даже двух знаков (3,14) достаточно для того, чтобы высчитывать длину окружности с достаточно высокой точностью. А длина круга, по сути, является и его периметром, соответственно: P = 2πr, или P = πd. Эти формулы, но с другими обозначениями, были известны древним египтянам более 3500 лет назад.
Значительно позже — в VI–V веках до нашей эры — древнегреческий учёный Пифагор (Πυθαγόρας) опосредованно использовал для нахождения периметров тригонометрию.
Так как обязательное условие для нахождения периметра — знание всех сторон треугольника, его неизвестные стороны можно находить с помощью известных углов. Для этого Пифагор применял синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе, и косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Вычислив таким образом искомую длину стороны, её можно включить в выражение P = a + b + c и узнать периметр треугольника.
А в III–II веках до нашей эры не менее известный древнегреческий учёный Архимед (Ἀρχιμήδης) нашёл способ определения периметров методом аппроксимации: с помощью описанных вокруг окружности правильных многоугольников.
Корреляция с площадью
Исследования периметров геометрических фигур проводились параллельно с вычислениями их площадей. Несмотря на распространённое убеждение, что чем больше площадь, тем больше периметр, эти характеристики никак не связаны между собой. Например, если взять прямоугольник шириной 0,001 условных единицы измерения и длиной 1000 единиц, его периметр составит 2000, а у прямоугольника шириной 0,5 и длиной 2 он будет равен 5. При этом площадь обоих прямоугольников будет равна единице.
Ещё нагляднее выглядит ситуация с многоструктурными фигурами. В них наблюдается обратная закономерность: чем больше периметр, тем меньше площадь, и наоборот. В V веке нашей эры это стало причиной неравномерного распределения посевных площадей между крестьянами. Не зная об этой закономерности, они делили участки по периметрам, а не по площадям, хотя количество собранного урожая всегда пропорционально площади, а не периметру. Об этом писал ещё античный философ Прокл Диадох (Πρόκλος ὁ Διάδοχος) — руководитель Платоновской Академии (Ἀκαδημία).
Чуть позже — в VI веке нашей эры — в Индии было введено определение полупериметра — величины, которая сегодня обозначается в формулах прописной буквой «p». Она используется для вычисления площадей многих геометрических фигур и позволяет существенно упростить их написание. Как понятно из самого названия, чтобы вычислить полупериметр, нужно сложить длины всех сторон фигуры и разделить полученный результат на два.
Доподлинно неизвестно, кто и когда впервые в истории начал использовать в практических целях такую характеристику как периметр. Она уже существовала в Древнем Египте, но не факт, что именно египтяне изобрели и ввели её в обращение. На протяжении всей последующей истории цивилизаций она повсеместно использовалась в геометрических формулах, и сегодня является одной из основополагающих характеристик, наравне с площадью и объёмом.
