Perimeter is een kenmerk dat kan worden toegeschreven aan elk plat (en niet alleen) figuur. De grenzen kunnen worden gekenmerkt door de omtrek of de som van de lengtes van de zijden. Deze eigenschap is ook geschikt voor veel volumetrische figuren.
Definitie en algemene kenmerken
In de geometrie wordt de omtrek aangeduid met de Latijnse hoofdletter "P" - van het Latijnse woord omtrek, dat op zijn beurt weer afkomstig is van het oude Griekse περίμετρον (cirkel). Deze eigenschap werd al vóór onze jaartelling gebruikt en maakte het mogelijk om de grenzen van land en andere vlakke oppervlakken te bepalen.
Alle vormen die hoeken bevatten - beginnend met een driehoek en eindigend met complexe veelvlakken - kunnen worden weergegeven als lijnen, die worden aangegeven met Latijnse hoofdletters in alfabetische volgorde: a, b, c, d, enzovoort. De som van de zijden van een driehoek wordt dus altijd uitgedrukt als a + b + c, en trapeziums - als a + b + c + d.
De zijden van een platte veelhoek kunnen ook worden weergegeven als segmenten tussen twee punten, die worden aangeduid met Latijnse hoofdletters: AB, BC, CD, enzovoort. Ongeacht de gebruikte notatie, de omtrek is altijd gelijk aan de som van de lengtes van de zijden en wordt beschouwd in dezelfde eenheden.
Historische achtergrond
De behoefte om omtrekken te berekenen ontstond in de oudheid - toen het nodig was om landpercelen af te bakenen. Vervolgens werd dit kenmerk gebruikt in de architectuur en de bouw: bij het leggen van funderingen en het berekenen van de benodigde hoeveelheid bouwmaterialen.
Het is bekend dat de omtrek van een cirkel in het oude Egypte werd berekend in de 15e-14e eeuw voor Christus. Hiervoor werd een constante gebruikt, tegenwoordig bekend als het getal "pi" (π) en gelijk aan 3,14 ... Hoewel het zijn moderne naam en aanduiding veel later kreeg - in 1706.
De oude Egyptenaren kenden tot 10 decimalen in het getal π: 3.1415926535..., terwijl de moderne wetenschap 100 biljoen cijfers kent. Niettemin zijn zelfs twee tekens (3.14) voldoende om de omtrek met een voldoende hoge nauwkeurigheid te berekenen. En de lengte van een cirkel is in feite ook de omtrek, respectievelijk: P = 2πr, of P = πd. Deze formules, maar met een andere notatie, waren meer dan 3500 jaar geleden bekend bij de oude Egyptenaren.
Veel later, in de 6e-5e eeuw voor Christus, gebruikte de oude Griekse wetenschapper Pythagoras indirect trigonometrie om omtrekken te vinden.
Omdat het kennen van alle zijden van een driehoek een voorwaarde is voor het vinden van de omtrek, kunnen onbekende zijden worden gevonden met behulp van bekende hoeken. Hiervoor gebruikte Pythagoras de sinus - de verhouding van het tegenoverliggende been tot de hypotenusa, en de cosinus - de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa. Na aldus de gewenste lengte van de zijde te hebben berekend, kan deze worden opgenomen in de uitdrukking P = a + b + c en de omtrek van de driehoek bepalen.
En in de 3e-2e eeuw voor Christus vond de niet minder beroemde oude Griekse wetenschapper Archimedes een manier om de omtrek bij benadering te bepalen: met behulp van regelmatige polygonen beschreven rond een cirkel.
Correlatie met oppervlakte
Onderzoek naar de omtrek van geometrische figuren werd uitgevoerd parallel aan de berekeningen van hun oppervlakte. Ondanks de algemene overtuiging dat hoe groter het gebied, hoe groter de omtrek, zijn deze kenmerken op geen enkele manier gerelateerd. Als u bijvoorbeeld een rechthoek neemt met een breedte van 0,001 willekeurige eenheden en een lengte van 1000 eenheden, is de omtrek 2000, en voor een rechthoek met een breedte van 0,5 en een lengte van 2 is deze gelijk aan 5. In in dit geval is de oppervlakte van beide rechthoeken gelijk aan één.
De situatie met figuren met meerdere structuren ziet er nog duidelijker uit. Daarin wordt het omgekeerde patroon waargenomen: hoe groter de omtrek, hoe kleiner het gebied en vice versa. In de 5e eeuw na Christus werd dit de reden voor de ongelijke verdeling van ingezaaide gebieden onder de boeren. Omdat ze dit patroon niet kenden, verdeelden ze de percelen langs de omtrek en niet volgens de gebieden, hoewel de hoeveelheid geoogst gewas altijd evenredig is met het gebied, niet met de omtrek. De oude filosoof Proclus Diadoch, het hoofd van de Platonische Academie, schreef hierover.
Iets later, in de 6e eeuw na Christus, introduceerde India de definitie van de halve omtrek, een waarde die nu in formules wordt aangeduid met de hoofdletter "p". Het wordt gebruikt om de oppervlakte van veel geometrische vormen te berekenen en kan het schrijven ervan aanzienlijk vereenvoudigen. Zoals de naam al aangeeft, moet u om de halve omtrek te berekenen de lengtes van alle zijden van de figuur optellen en het resultaat door twee delen.
Het is niet met zekerheid bekend wie en wanneer voor het eerst in de geschiedenis zo'n kenmerk begon te gebruiken als een omtrek voor praktische doeleinden. Het bestond al in het oude Egypte, maar het is geen feit dat het de Egyptenaren waren die het hebben uitgevonden en in omloop hebben gebracht. Gedurende de daaropvolgende geschiedenis van beschavingen werd het veel gebruikt in geometrische formules, en tegenwoordig is het een van de fundamentele kenmerken, samen met oppervlakte en volume.
