Perimetrs ir raksturlielums, ko var attiecināt uz jebkuru plakanu (un ne tikai) figūru. Tās robežas var raksturot ar perimetru vai malu garumu summu. Šis raksturlielums ir piemērots arī daudzām tilpuma figūrām.
Definīcija un vispārīgie raksturlielumi
Ģeometrijā perimetru apzīmē ar lielo latīņu burtu "P" — no latīņu vārda perimetrs, kas savukārt cēlies no sengrieķu valodas περίμετρον (aplis). Šis raksturlielums tika izmantots jau pirms mūsu ēras, un tas ļāva noteikt zemes un citu līdzenu virsmu robežas.
Visas formas, kas satur leņķus, sākot ar trīsstūri un beidzot ar sarežģītiem daudzskaldņiem, var attēlot kā līnijas, kuras alfabētiskā secībā apzīmē ar lielajiem latīņu burtiem: a, b, c, d utt. Tādējādi trijstūra malu summa vienmēr tiks izteikta kā a + b + c, bet trapeces - kā a + b + c + d.
Plakana daudzstūra malas var attēlot arī kā segmentus starp diviem punktiem, kas apzīmēti ar lielajiem latīņu burtiem: AB, BC, CD utt. Neatkarīgi no izmantotā apzīmējuma perimetrs vienmēr ir vienāds ar malu garumu summu un tiek ņemts vērā tajās pašās mērvienībās.
Vēsturiskais fons
Nepieciešamība aprēķināt perimetrus radās senos laikos – kad vajadzēja norobežot zemes gabalus. Pēc tam šo raksturlielumu izmantoja arhitektūrā un būvniecībā: ieliekot pamatus un aprēķinot nepieciešamo būvmateriālu daudzumu.
Ir zināms, ka apļa perimetrs Senajā Ēģiptē tika aprēķināts 15.–14. gadsimtā pirms mūsu ēras. Šim nolūkam tika izmantota konstante, kas mūsdienās pazīstama kā skaitlis "pi" (π) un ir vienāda ar 3,14... Lai gan savu mūsdienu nosaukumu un apzīmējumu tā saņēma daudz vēlāk - 1706. gadā.
Senie ēģiptieši zināja līdz 10 zīmēm aiz komata skaitļā π: 3,1415926535..., savukārt mūsdienu zinātne zina 100 triljonus ciparu. Neskatoties uz to, pietiek pat ar divām zīmēm (3.14), lai aprēķinātu apkārtmēru ar pietiekami augstu precizitāti. Un apļa garums faktiski ir arī tā perimetrs, attiecīgi: P = 2πr vai P = πd. Šīs formulas, taču ar atšķirīgu apzīmējumu, bija zināmas senie ēģiptiešiem pirms vairāk nekā 3500 gadiem.
Daudz vēlāk, 6.–5. gadsimtā pirms mūsu ēras, sengrieķu zinātnieks Pitagors perimetru noteikšanai netieši izmantoja trigonometriju.
Tā kā perimetra noteikšanai ir nepieciešams zināt visas trijstūra malas, nezināmas malas var atrast, izmantojot zināmus leņķus. Šim nolūkam Pitagors izmantoja sinusu - pretējās kājas attiecību pret hipotenūzu un kosinusu - blakus esošās kājas attiecību pret hipotenūzu. Šādi aprēķinot malas vēlamo garumu, to var iekļaut izteiksmē P = a + b + c un uzzināt trijstūra perimetru.
Un 3.–2. gadsimtā pirms mūsu ēras ne mazāk slavenais sengrieķu zinātnieks Arhimēds atrada veidu, kā ar tuvinājumu noteikt perimetrus: izmantojot regulārus daudzstūrus, kas aprakstīti ap apli.
Korelācija ar apgabalu
Paralēli ar to laukumu aprēķiniem tika veikti ģeometrisko figūru perimetru pētījumi. Neskatoties uz izplatīto uzskatu, ka jo lielāka platība, jo lielāks ir perimetrs, šīs īpašības nekādā veidā nav saistītas. Piemēram, ja ņemat taisnstūri, kura platums ir 0,001 patvaļīgas vienības un garums ir 1000 vienības, tā perimetrs būs 2000, bet taisnstūrim ar platumu 0,5 un garumu 2 tas būs vienāds ar 5. šajā gadījumā abu taisnstūru laukums būs vienāds ar vienu.
Situācija ar vairāku struktūru figūrām izskatās vēl skaidrāka. Tajos tiek novērots apgrieztais modelis: jo lielāks perimetrs, jo mazāks laukums un otrādi. Mūsu ēras 5. gadsimtā tas kļuva par iemeslu sējumu nevienmērīgajam sadalījumam starp zemniekiem. Nezinot par šo modeli, viņi sadalīja zemes gabalus pa perimetru, nevis pēc platībām, lai gan novāktās ražas daudzums vienmēr ir proporcionāls platībai, nevis perimetram. Par to rakstīja antīkais filozofs Prokls Diadohs, Platona akadēmijas vadītājs.
Nedaudz vēlāk, mūsu ēras 6. gadsimtā, Indija ieviesa pusperimetra definīciju, vērtību, kas tagad formulās tiek apzīmēta ar lielo burtu “p”. To izmanto, lai aprēķinātu daudzu ģeometrisku formu laukumus, un tas var ievērojami vienkāršot to rakstīšanu. Kā norāda nosaukums, lai aprēķinātu pusperimetru, jums jāsaskaita visu figūras malu garumi un rezultāts jādala ar divi.
Nav precīzi zināms, kurš un kad pirmo reizi vēsturē sāka izmantot šādu raksturlielumu kā perimetru praktiskiem nolūkiem. Tā pastāvēja jau senajā Ēģiptē, taču nav fakts, ka ēģiptieši to izgudroja un laida apgrozībā. Visā turpmākajā civilizāciju vēsturē tas tika plaši izmantots ģeometriskajās formulās, un mūsdienās tas ir viens no pamata raksturlielumiem līdzās laukumam un tilpumam.
