A kerület olyan jellemző, amely bármely lapos (és nem csak) alaknak tulajdonítható. Határai a kerülettel, vagy az oldalak hosszának összegével jellemezhetők. Ez a karakterisztika sok térfogati figurához is alkalmas.
Definíció és általános jellemzők
A geometriában a kerületet a nagy latin "P" betűvel jelölik – a latin kerület szóból, amely viszont az ógörög περίμετρον (kör) szóból származik. Ezt a jellemzőt már korszakunk előtt is használták, és lehetővé tette a föld és más sík felületek határainak meghatározását.
Minden szöget tartalmazó alakzat – háromszöggel kezdve és összetett poliéderekkel végződve – ábrázolható vonalként, amelyeket nagy latin betűkkel jelölünk ábécé sorrendben: a, b, c, d stb. Így a háromszög oldalainak összege mindig a + b + c, a trapézok pedig a + b + c + d formában lesznek kifejezve.
Egy lapos sokszög oldalai két pont közötti szakaszokként is ábrázolhatók, amelyeket nagy latin betűkkel jelölünk: AB, BC, CD stb. Az alkalmazott jelöléstől függetlenül a kerület mindig egyenlő az oldalak hosszának összegével, és azonos mértékegységekben veszik figyelembe.
Történelmi háttér
A kerületek kiszámításának szükségessége már az ókorban felmerült – amikor szükséges volt a földterületek körülhatárolása. Ezt a jellemzőt később az építészetben és az építőiparban használták: alapozáskor és a szükséges építőanyagmennyiség kiszámításakor.
Ismert, hogy az ókori Egyiptomban a kör kerületét az ie 15-14. században számították ki. Ehhez egy állandót használtak, amelyet ma "pi" (π) néven ismernek, és egyenlő 3,14-gyel... Bár a mai nevét és elnevezését jóval később - 1706-ban - kapta.
Az ókori egyiptomiak 10 tizedesjegyig tudtak a π: 3,1415926535... számban, míg a modern tudomány 100 billió számjegyet. Ennek ellenére két előjel (3.14) is elegendő a kerület kellő pontosságú kiszámításához. És a kör hossza tulajdonképpen a kerülete is: P = 2πr, vagy P = πd. Ezeket a képleteket, de eltérő jelöléssel, az ókori egyiptomiak több mint 3500 évvel ezelőtt ismerték.
Jóval később, az ie 6-5. században, az ókori görög tudós, Pythagoras közvetetten trigonometriát használt a kerületek meghatározására.
Mivel a háromszög minden oldalának ismerete előfeltétele a kerület meghatározásának, az ismeretlen oldalai ismert szögek segítségével megkereshetők. Ehhez Pythagoras a szinusz - az ellenkező láb és a hipotenusz arányát -, valamint a koszinusz - a szomszédos láb és a hipotenusz arányát használta. Miután így kiszámítottuk az oldal kívánt hosszát, beépíthető a P = a + b + c kifejezésbe, és megtudhatja a háromszög kerületét.
Az ie 3-2. században pedig a nem kevésbé híres ókori görög tudós, Arkhimédész talált módot a kerületek közelítéssel történő meghatározására: egy kör körül leírt szabályos sokszögek felhasználásával.
Korreláció a területtel
A geometriai alakzatok kerületének vizsgálatát a területük számításával párhuzamosan végeztük. Annak ellenére, hogy az a közhiedelem, hogy minél nagyobb a terület, annál nagyobb a kerület, ezek a jellemzők semmilyen módon nem kapcsolódnak egymáshoz. Például, ha veszünk egy 0,001 tetszőleges egység szélességű és 1000 egység hosszúságú téglalapot, akkor a kerülete 2000 lesz, egy 0,5 szélességű és 2 hosszúságú téglalapnál pedig 5 lesz. ebben az esetben mindkét téglalap területe egy lesz.
A helyzet a több szerkezetű figurákkal még világosabbnak tűnik. A fordított minta figyelhető meg náluk: minél nagyobb a kerület, annál kisebb a terület, és fordítva. Az i.sz. 5. században ez vált oka a vetésterületek egyenetlen eloszlásának a parasztok között. Erről a mintáról nem tudva, a parcellákat a kerületek mentén osztották fel, nem pedig területek szerint, pedig a betakarított termés mennyisége mindig a területtel arányos, nem a kerülettel. Erről az ókori filozófus, Proklosz Diadoch, a Platóni Akadémia vezetője írt.
Kicsit később, az i.sz. 6. században, India bevezette a félkör definícióját, ezt az értéket ma a képletekben nagy „p” betűvel jelölik. Számos geometriai alakzat területének kiszámítására szolgál, és nagyban leegyszerűsítheti írásukat. Ahogy a neve is sugallja, a félkörmérő kiszámításához össze kell adni az ábra minden oldalának hosszát, és az eredményt el kell osztani kettővel.
Nem tudni biztosan, hogy a történelem során ki és mikor kezdett gyakorlati célokra kerületként használni egy ilyen jellemzőt. Már az ókori Egyiptomban is létezett, de nem tény, hogy az egyiptomiak találták ki és bocsátották forgalomba. A civilizációk későbbi története során széles körben használták geometriai képletekben, ma pedig a területtel és térfogattal együtt az egyik alapvető jellemző.
