😍 Kalkulator perimetra (krug, trokut, pravokutnik, kvadrat, paralelogram, trapez, romb)

Kalkulator perimetra

Opseg je karakteristika koja se može pripisati bilo kojoj ravnoj (i ne samo) figuri. Njegove granice mogu se karakterizirati opsegom, odnosno zbrojem duljina stranica. Ova je karakteristika također prikladna za mnoge volumetrijske brojke.

Definicija i opće karakteristike

U geometriji, opseg se označava velikim latiničnim slovom "P" - od latinske riječi perimeter, koja pak dolazi od starogrčke riječi περίμετρον (krug). Ova se karakteristika koristila i prije naše ere i omogućila je određivanje granica kopna i drugih ravnih površina.

Svi oblici koji sadrže kutove - počevši od trokuta i završavajući složenim poliedrima - mogu se prikazati kao linije, koje su označene velikim latiničnim slovima abecednim redom: a, b, c, d itd. Dakle, zbroj stranica trokuta uvijek će biti izražen kao a + b + c, a trapeza - kao a + b + c + d.

Stranice ravnog mnogokuta također se mogu prikazati kao segmenti između dvije točke, koje su označene velikim latiničnim slovima: AB, BC, CD itd. Bez obzira na korišteni zapis, opseg je uvijek jednak zbroju duljina stranica i smatra se u istim jedinicama.

Povijesna pozadina

Potreba za izračunavanjem perimetara pojavila se u davnim vremenima - kada je bilo potrebno razgraničiti zemljišne parcele. Kasnije je ova karakteristika korištena u arhitekturi i građevinarstvu: prilikom postavljanja temelja i izračunavanja potrebne količine građevinskog materijala.

Poznato je da je opseg kruga u starom Egiptu izračunat još u 15.-14. stoljeću prije Krista. Za to je korištena konstanta, danas poznata kao broj "pi" (π) i jednaka je 3,14 ... Iako je svoje moderno ime i oznaku dobila mnogo kasnije - 1706. godine.

Stari Egipćani znali su do 10 decimalnih mjesta u broju π: 3,1415926535..., dok moderna znanost poznaje 100 trilijuna znamenki. Ipak, dovoljna su i dva znaka (3.14) da se opseg izračuna s dovoljno visokom točnošću. A duljina kruga je zapravo i njegov opseg, odnosno: P = 2πr, odnosno P = πd. Ove formule, ali s drugačijim zapisom, bile su poznate starim Egipćanima prije više od 3500 godina.

Mnogo kasnije, u 6.-5. stoljeću prije Krista, starogrčki znanstvenik Pitagora posredno je upotrijebio trigonometriju za pronalaženje opsega.

Budući da je poznavanje svih stranica trokuta preduvjet za pronalaženje opsega, njegove nepoznate strane mogu se pronaći pomoću poznatih kutova. Za to je Pitagora koristio sinus - omjer suprotne noge i hipotenuze, i kosinus - omjer susjedne noge i hipotenuze. Nakon što je tako izračunana željena duljina stranice, može se uključiti u izraz P = a + b + c i saznati opseg trokuta.

A u 3. i 2. stoljeću prije Krista, ne manje poznati starogrčki znanstvenik Arhimed pronašao je način za određivanje opsega aproksimacijom: pomoću pravilnih poligona opisanih oko kruga.

Korelacija s površinom

Proučavanja opsega geometrijskih figura provedena su paralelno s izračunima njihovih područja. Unatoč uvriježenom mišljenju da što je veće područje, to je veći opseg, te karakteristike nisu ni na koji način povezane. Na primjer, ako uzmemo pravokutnik širine 0,001 proizvoljne jedinice i duljine 1000 jedinica, njegov će opseg biti 2000, a za pravokutnik širine 0,5 i duljine 2 bit će jednak 5. U u ovom slučaju će površina oba pravokutnika biti jednaka jedan.

Situacija s multistrukturnim figurama izgleda još jasnije. U njima se opaža obrnuti obrazac: što je veći opseg, to je manje područje, i obrnuto. U 5. stoljeću naše ere to je postalo razlogom neravnomjerne raspodjele sjetvenih površina među seljacima. Ne znajući za taj obrazac, parcele su dijelili po obodu, a ne po površinama, iako je količina ubranog uroda uvijek proporcionalna površini, a ne obodu. O tome je pisao antički filozof Proklo Dijadoh, voditelj Platonove akademije.

Nešto kasnije, u 6. stoljeću nove ere, Indija je uvela definiciju poluperimetra, vrijednosti koja se danas u formulama označava velikim slovom "p". Koristi se za izračunavanje površina mnogih geometrijskih oblika i može uvelike pojednostaviti njihovo pisanje. Kao što naziv implicira, da biste izračunali poluperimetar, trebate zbrojiti duljine svih strana figure i rezultat podijeliti s dva.

Ne zna se pouzdano tko je i kada prvi put u povijesti počeo koristiti takvu karakteristiku kao perimetar u praktične svrhe. Postojao je već u starom Egiptu, ali nije činjenica da su ga Egipćani izmislili i pustili u promet. Kroz daljnju povijest civilizacija bila je široko korištena u geometrijskim formulama, a danas je jedna od temeljnih karakteristika, uz površinu i volumen.

Kako pronaći opseg (formule za opseg)

Jedna od najvažnijih geometrijskih karakteristika je opseg, što je ukupna duljina obruba oblika. U slučaju zaobljenih figura (krugova, ovala, elipsa), to je jedna puna linija, au slučaju poliedra, nekoliko linija koje se međusobno zbrajaju po dužini.

Perimetar je od najveće važnosti u gospodarskom i industrijskom sektoru. Na primjer, potrebno je izračunati duljinu ograda oko zemljišta, odrediti duljinu niti namotanih na kaleme, odrediti udaljenost koju kotač prijeđe tijekom svog punog okretaja.

Za izračun opsega različitih geometrijskih oblika postoje formule koje vrijedi detaljnije razmotriti.

Trokut

Postoji samo jedan način za određivanje opsega bilo kojeg trokuta - šiljastog, tupokutnog, pravokutnog i jednakostraničnog - znajući duljinu svake njegove stranice. Nakon toga ih je dovoljno zamijeniti u formulu:

P = a + b + c.

Gdje je "P" opseg oblika, a, b i c su duljine njegovih stranica. Ako je jedna od vrijednosti nepoznata, može se odrediti iz kutova ili pomoću trigonometrijskih funkcija. I tek nakon toga - izračunajte potrebni opseg.

Kvadrat

Za razliku od trokuta, kvadrati se izračunavaju pomoću dvije formule: pomoću duljina stranica i dijagonala. Formule izgledaju ovako:

P = 4 ⋅ a.
P = d ⋅ 2 ⋅ √2.

Prema tome, a je duljina stranice kvadrata, a d je duljina njegove dijagonale.

Pravokutnik i paralelogram

Pravokutnik ima 4 prava kuta, dok paralelogram ima 2 tupa i 2 oštra kuta. Unatoč ovoj temeljnoj razlici, površine figura izračunavaju se pomoću jedne opće formule:

P = 2 ⋅ (a + b).

Pod a i b podrazumijevaju se dvije strane figure koje graniče jedna s drugom, a razlikuju se po duljini. I u pravokutniku iu paralelogramu uvijek ih ima 2 para.

Dijamant

Sve stranice romba su jednake i samo se kutovi između njih mogu razlikovati. Stoga se njegov opseg izračunava pomoću iste formule kao kvadrat:

P = 4 ⋅ a.

Prema tome, P je opseg figure, a je duljina lica. Izraz vrijedi za bilo koji romb, bez obzira na kutove između stranica.

Trapez

Formula za izračunavanje opsega trapeza također je elementarna i izgleda ovako:

P = a + b + c + d.

To jest, kao zbroj duljina stranica a, b, c i d, koje su međusobno različite. Ne postoji drugi način da dobijete željeni rezultat.

Krug

U slučaju kruga, opseg je jednak opsegu kruga, što znači da se izračunava pomoću standardnih formula:

P = 2 ⋅ π ⋅ r.
P = π ⋅ d.

Gdje je r radijus kruga, d njegov promjer, π konstanta jednaka 3,1415...

Dakle, izračunavanje opsega ravnih figura je elementarna matematička operacija, koja se u većini slučajeva svodi na jednostavno zbrajanje duljina stranica.

S jednostavnim, cjelobrojnim vrijednostima možete računati u svom umu ili na komadu papira. Ali za složenije izračune, gdje su duljine stranica predstavljene kao brojevi s velikim brojem decimalnih mjesta, lakše je koristiti online kalkulator. Dovoljno je unijeti poznate vrijednosti u njegova prazna polja i nakon pritiska na gumb odmah ćete dobiti željeni rezultat.

Kalkulator perimetra

Ostali alati