परिधि कैलकुलेटर

परिधि एक विशेषता है जिसे किसी भी सपाट (और न केवल) आकृति के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। इसकी सीमाओं को परिधि, या पक्षों की लंबाई के योग द्वारा चित्रित किया जा सकता है। यह विशेषता कई बड़ी आकृतियों के लिए भी उपयुक्त है।

परिभाषा और सामान्य विशेषताएँ

ज्यामिति में, परिधि को बड़े लैटिन अक्षर "P" से दर्शाया जाता है - लैटिन शब्द परिधि से, जो बदले में, प्राचीन ग्रीक περίμετρον (सर्कल) से आया है। इस विशेषता का उपयोग हमारे युग से पहले भी किया जाता था, और भूमि और अन्य सपाट सतहों की सीमाओं को निर्धारित करने की अनुमति दी जाती थी।

सभी आकृतियाँ जिनमें कोण होते हैं - एक त्रिभुज से शुरू होकर जटिल पॉलीहेड्रा तक - को रेखाओं के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो वर्णमाला क्रम में बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा इंगित किए जाते हैं: ए, बी, सी, डी, और इसी तरह। इस प्रकार, एक त्रिभुज की भुजाओं का योग हमेशा a + b + c के रूप में व्यक्त किया जाएगा, और समलंब चतुर्भुज - a + b + c + d के रूप में व्यक्त किया जाएगा।

एक समतल बहुभुज की भुजाओं को दो बिंदुओं के बीच खंडों के रूप में भी दर्शाया जा सकता है, जिन्हें बड़े लैटिन अक्षरों: एबी, बीसी, सीडी, इत्यादि द्वारा दर्शाया जाता है। उपयोग किए गए संकेतन के बावजूद, परिधि हमेशा भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर होती है, और इसे समान इकाइयों में माना जाता है।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

परिधि की गणना करने की आवश्यकता प्राचीन काल में उत्पन्न हुई - जब भूमि भूखंडों का परिसीमन करना आवश्यक था। इसके बाद, इस विशेषता का उपयोग वास्तुकला और निर्माण में किया गया: नींव रखते समय और निर्माण सामग्री की आवश्यक मात्रा की गणना करते समय।

यह ज्ञात है कि प्राचीन मिस्र में एक वृत्त की परिधि की गणना 15वीं-14वीं शताब्दी ईसा पूर्व में की गई थी। इसके लिए, एक स्थिरांक का उपयोग किया गया था, जिसे आज संख्या "पाई" (π) के रूप में जाना जाता है और 3.14 के बराबर है ... हालांकि इसे इसका आधुनिक नाम और पदनाम बहुत बाद में मिला - 1706 में।

प्राचीन मिस्रवासी संख्या π: 3.1415926535... में 10 दशमलव स्थानों तक जानते थे, जबकि आधुनिक विज्ञान 100 ट्रिलियन अंक जानता है। फिर भी, पर्याप्त उच्च सटीकता के साथ परिधि की गणना करने के लिए दो संकेत (3.14) भी पर्याप्त हैं। और एक वृत्त की लंबाई, वास्तव में, क्रमशः उसका परिमाप भी है: P = 2πr, या P = πd। ये सूत्र, लेकिन अलग-अलग संकेतन के साथ, 3500 साल पहले प्राचीन मिस्रवासियों को ज्ञात थे।

बहुत बाद में, छठी-पांचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में, प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक पाइथागोरस ने परिमाप खोजने के लिए अप्रत्यक्ष रूप से त्रिकोणमिति का उपयोग किया।

चूँकि किसी त्रिभुज की सभी भुजाओं को जानना परिधि ज्ञात करने के लिए एक पूर्व शर्त है, ज्ञात कोणों का उपयोग करके अज्ञात भुजाओं को पाया जा सकता है। इसके लिए, पाइथागोरस ने साइन का उपयोग किया - विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात, और कोसाइन - आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात। इस प्रकार भुजा की वांछित लंबाई की गणना करने के बाद, इसे अभिव्यक्ति P = a + b + c में शामिल किया जा सकता है और त्रिभुज का परिमाप ज्ञात किया जा सकता है।

और तीसरी-दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व में, समान रूप से प्रसिद्ध प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक आर्किमिडीज़ ने सन्निकटन द्वारा परिधि निर्धारित करने का एक तरीका खोजा: एक वृत्त के चारों ओर वर्णित नियमित बहुभुजों का उपयोग करना।

क्षेत्र के साथ सहसंबंध

ज्यामितीय आकृतियों की परिधि का अध्ययन उनके क्षेत्रों की गणना के समानांतर किया गया। आम धारणा के बावजूद कि क्षेत्रफल जितना बड़ा होगा, परिधि उतनी ही बड़ी होगी, ये विशेषताएँ किसी भी तरह से संबंधित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप 0.001 मनमानी इकाइयों की चौड़ाई और 1000 इकाइयों की लंबाई के साथ एक आयत लेते हैं, तो इसकी परिधि 2000 होगी, और 0.5 की चौड़ाई और 2 की लंबाई के साथ एक आयत के लिए यह 5 के बराबर होगी। इस स्थिति में, दोनों आयतों का क्षेत्रफल एक के बराबर होगा।

बहु-संरचना आंकड़ों के साथ स्थिति और भी स्पष्ट दिखती है। उनमें उलटा पैटर्न देखा जाता है: परिधि जितनी बड़ी होगी, क्षेत्र उतना ही छोटा होगा, और इसके विपरीत। 5वीं शताब्दी ई. में यह किसानों के बीच बोए गए क्षेत्रों के असमान वितरण का कारण बन गया। इस पैटर्न के बारे में न जानते हुए, उन्होंने भूखंडों को क्षेत्रफल के अनुसार नहीं, बल्कि परिधि के अनुसार विभाजित किया, हालाँकि काटी गई फसल की मात्रा हमेशा क्षेत्रफल के समानुपाती होती है, परिधि के अनुसार नहीं। प्लैटोनिक अकादमी के प्रमुख, प्राचीन दार्शनिक प्रोक्लस डायडोच ने इस बारे में लिखा था।

थोड़ी देर बाद, छठी शताब्दी ईस्वी में, भारत ने अर्ध-परिधि की परिभाषा पेश की, एक मूल्य जिसे अब बड़े अक्षर "पी" द्वारा सूत्रों में दर्शाया जाता है। इसका उपयोग कई ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों की गणना करने के लिए किया जाता है और यह उनके लेखन को बहुत सरल बना सकता है। जैसा कि नाम से पता चलता है, अर्धपरिधि की गणना करने के लिए, आपको आकृति के सभी पक्षों की लंबाई को जोड़ना होगा और परिणाम को दो से विभाजित करना होगा।

यह निश्चित रूप से ज्ञात नहीं है कि इतिहास में पहली बार किसने और कब व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए परिधि जैसी विशेषता का उपयोग करना शुरू किया। यह प्राचीन मिस्र में पहले से ही अस्तित्व में था, लेकिन यह सच नहीं है कि मिस्रवासियों ने ही इसका आविष्कार किया और इसे प्रचलन में लाया। सभ्यताओं के बाद के इतिहास में, ज्यामितीय सूत्रों में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया गया था, और आज यह क्षेत्रफल और आयतन के साथ मूलभूत विशेषताओं में से एक है।

सबसे महत्वपूर्ण ज्यामितीय विशेषताओं में से एक परिधि है, जो आकृति की सीमा की कुल लंबाई है। गोलाकार आकृतियों (वृत्त, अंडाकार, दीर्घवृत्त) के मामले में, यह एक ठोस रेखा है, और बहुफलक के मामले में, कई रेखाएँ लंबाई के साथ एक दूसरे के साथ जुड़ती हैं।

आर्थिक और औद्योगिक क्षेत्रों में परिधि का अत्यधिक महत्व है। उदाहरण के लिए, भूमि के चारों ओर बाड़ की लंबाई की गणना करना, स्पूल पर घाव किए गए धागों की लंबाई निर्धारित करना, एक पहिया अपनी पूर्ण क्रांति के दौरान कितनी दूरी तय करता है यह निर्धारित करना आवश्यक है।

विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों की परिधि की गणना करने के लिए, ऐसे सूत्र हैं जिन पर अधिक विस्तार से विचार किया जाना चाहिए।

त्रिभुज

किसी भी त्रिभुज का परिमाप निर्धारित करने का केवल एक ही तरीका है - न्यून, अधिक, दायीं और समबाहु - उसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई जानकर। उसके बाद, उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करना पर्याप्त है:

P = a + b + c.

जहां "P" आकृति की परिधि है, a, b और c इसकी भुजाओं की लंबाई हैं। यदि कोई एक मान अज्ञात है, तो इसे कोणों से, या त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। और उसके बाद ही - वांछित परिधि की गणना करें।

वर्ग

त्रिभुजों के विपरीत, वर्गों की गणना दो सूत्रों का उपयोग करके की जाती है: भुजाओं की लंबाई और विकर्णों का उपयोग करके। सूत्र इस तरह दिखते हैं:

P = 4 ⋅ a.
P = d ⋅ 2 ⋅ √2.

तदनुसार, a वर्ग की भुजा की लंबाई है, और d इसके विकर्ण की लंबाई है।

आयत और समांतर चतुर्भुज

एक आयत में 4 समकोण होते हैं, जबकि एक समांतर चतुर्भुज में 2 अधिक कोण और 2 न्यून कोण होते हैं। इस मूलभूत अंतर के बावजूद, आंकड़ों के क्षेत्रों की गणना एक एकल, सामान्य सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

P = 2 ⋅ (a + b).

ए और बी से तात्पर्य आकृति के दो किनारों से है जो एक-दूसरे की सीमा से लगे हुए हैं, जिनकी लंबाई अलग-अलग है। आयत और समांतर चतुर्भुज दोनों में हमेशा उनके 2 जोड़े होते हैं।

हीरा

समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान हैं और केवल उनके बीच के कोण भिन्न हो सकते हैं। इसलिए, इसकी परिधि की गणना वर्ग के समान सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

P = 4 ⋅ a.

तदनुसार, P आकृति का परिमाप है, a चेहरे की लंबाई है। यह अभिव्यक्ति किसी भी समचतुर्भुज के लिए मान्य है, चाहे भुजाओं के बीच का कोण कुछ भी हो।

ट्रेपेज़ॉइड

ट्रैपेज़ॉइड की परिधि की गणना करने का सूत्र भी प्राथमिक है और इस तरह दिखता है:

P = a + b + c + d.

अर्थात, भुजाओं a, b, c और d की लंबाई के योग के रूप में, जो एक दूसरे से भिन्न हैं। वांछित परिणाम प्राप्त करने का कोई अन्य तरीका नहीं है।

सर्कल

एक वृत्त के मामले में, परिधि वृत्त की परिधि के बराबर होती है, जिसका अर्थ है कि इसकी गणना मानक सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

P = 2 ⋅ π ⋅ r.
P = π ⋅ d.

जहां r वृत्त की त्रिज्या है, d इसका व्यास है, π 3.1415 के बराबर एक स्थिरांक है...

इस प्रकार, समतल आकृतियों की परिधि की गणना प्राथमिक गणितीय संक्रियाएं हैं, जो ज्यादातर मामलों में भुजाओं की लंबाई के एक सरल योग तक पहुंचती हैं।

सरल, पूर्णांक मानों के साथ, आप अपने दिमाग में या कागज के टुकड़े पर गणना कर सकते हैं। लेकिन अधिक जटिल गणनाओं के लिए, जहां भुजाओं की लंबाई को बड़ी संख्या में दशमलव स्थानों के साथ संख्याओं के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करना आसान होता है। यह ज्ञात मानों को इसके खाली फ़ील्ड में दर्ज करने के लिए पर्याप्त है, और बटन दबाने के बाद, आपको तुरंत वांछित परिणाम प्राप्त होगा।

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