היקפי הוא מאפיין שניתן לייחס לכל דמות שטוחה (ולא רק). ניתן לאפיין את גבולותיו על ידי ההיקף, או סכום אורכי הצלעות. מאפיין זה מתאים גם לדמויות נפחיות רבות.
הגדרה ומאפיינים כלליים
בגיאומטריה, ההיקף מסומן באות הלטינית הגדולה "P" - מהמילה הלטינית perimeter, אשר, בתורה, מגיעה מהיוונית העתיקה περίμετρον (עיגול). מאפיין זה שימש עוד לפני תקופתנו, ואיפשר לקבוע את גבולות הקרקע ומשטחים שטוחים אחרים.
כל הצורות המכילות זוויות - המתחילות במשולש ומסתיימות בפוליהדרות מורכבות - יכולות להיות מיוצגות כקווים, המסומנים באותיות לטיניות גדולות בסדר אלפביתי: a, b, c, d וכן הלאה. לפיכך, סכום הצלעות של משולש תמיד יבוא לידי ביטוי כ-a + b + c, וטרפזים - כ- a + b + c + d.
הצלעות של מצולע שטוח יכולות להיות מיוצגות גם כקטעים בין שתי נקודות, המסומנות באותיות לטיניות גדולות: AB, BC, CD וכן הלאה. ללא קשר לסימון המשמש, ההיקף תמיד שווה לסכום אורכי הצלעות, ונחשב באותן יחידות.
רקע היסטורי
הצורך בחישוב היקפים התעורר בימי קדם - כאשר היה צורך לתחום חלקות קרקע. לאחר מכן, מאפיין זה שימש באדריכלות ובבנייה: בעת הנחת יסודות וחישוב הכמות הנדרשת של חומרי בניין.
ידוע שהיקף המעגל במצרים העתיקה חושב עוד במאות ה-15-14 לפני הספירה. לשם כך נעשה שימוש בקבוע, המכונה היום המספר "pi" (π) ושווה ל-3.14... למרות שהוא קיבל את שמו ואת ייעודו המודרני הרבה יותר מאוחר - ב-1706.
המצרים הקדמונים ידעו עד 10 מקומות עשרוניים במספר π: 3.1415926535..., בעוד שהמדע המודרני יודע 100 טריליון ספרות. אף על פי כן, מספיקים אפילו שני סימנים (3.14) כדי לחשב את ההיקף בדיוק גבוה מספיק. ואורך המעגל, למעשה, הוא גם היקפו, בהתאמה: P = 2πr, או P = πd. נוסחאות אלו, אך עם סימון שונה, היו ידועות למצרים הקדמונים לפני למעלה מ-3500 שנה.
הרבה מאוחר יותר, במאות ה-6-5 לפני הספירה, המדען היווני הקדום פיתגורס השתמש בעקיפין בטריגונומטריה כדי למצוא היקפים.
מכיוון שהכרת כל צלעות המשולש היא תנאי מוקדם למציאת ההיקף, ניתן למצוא צלעות לא ידועות באמצעות זוויות ידועות. לשם כך השתמש פיתגורס בסינוס - היחס בין הרגל הנגדית לתחתית, ובקוסינוס - היחס בין הרגל הסמוכה לתחתית. לאחר חישוב כך את האורך הרצוי של הצלע, ניתן לכלול אותה בביטוי P = a + b + c ולגלות את היקף המשולש.
ובמאות ה-3-2 לפני הספירה, המדען היווני הקדום המפורסם לא פחות ארכימדס מצא דרך לקבוע את ההיקפים בקירוב: באמצעות מצולעים רגילים המתוארים סביב מעגל.
מתאם עם שטח
מחקרים על היקפים של דמויות גיאומטריות בוצעו במקביל לחישובי שטחיהן. למרות האמונה הרווחת שככל שהשטח גדול יותר, ההיקף גדול יותר, מאפיינים אלו אינם קשורים בשום צורה. לדוגמה, אם לוקחים מלבן ברוחב של 0.001 יחידות שרירותיות ואורך של 1000 יחידות, היקפו יהיה 2000, ולמלבן ברוחב של 0.5 ואורך של 2 הוא יהיה שווה ל-5. ב. במקרה זה, השטח של שני המלבנים יהיה שווה לאחד.
המצב עם דמויות מרובות מבנים נראה ברור עוד יותר. התבנית ההפוכה נצפית בהם: ככל שההיקף גדול יותר, השטח קטן יותר ולהיפך. במאה ה-5 לספירה, זה הפך להיות הסיבה לפיזור הבלתי אחיד של השטחים הזרועים בין האיכרים. מבלי שידעו על דפוס זה, הם חילקו את החלקות לאורך ההיקפים, ולא לפי השטחים, למרות שכמות היבול הנקצר תמיד פרופורציונלית לשטח, לא להיקף. הפילוסוף הקדום פרוקלוס דיאדוך, ראש האקדמיה האפלטונית, כתב על כך.
קצת מאוחר יותר, במאה ה-6 לספירה, הציגה הודו את ההגדרה של חצי-היקף, ערך שמסומן כעת בנוסחאות באות הגדולה "p". הוא משמש לחישוב השטחים של צורות גיאומטריות רבות ויכול לפשט מאוד את כתיבתן. כפי שהשם מרמז, כדי לחשב את חצי ההיקף, עליך להוסיף את האורכי של כל צלעות הדמות ולחלק את התוצאה בשניים.
לא ידוע בוודאות מי ומתי לראשונה בהיסטוריה החלו להשתמש במאפיין כזה כמו היקפי למטרות מעשיות. זה כבר היה קיים במצרים העתיקה, אבל זה לא עובדה שהמצרים הם שהמציאו והכניסו אותו למחזור. לאורך ההיסטוריה שלאחר מכן של הציביליזציות, הוא היה בשימוש נרחב בנוסחאות גיאומטריות, וכיום הוא אחד המאפיינים הבסיסיים, יחד עם שטח ונפח.
