Ümbermõõt on omadus, mida saab omistada igale tasasele (ja mitte ainult) figuurile. Selle piire saab iseloomustada perimeetri või külgede pikkuste summaga. See omadus sobib ka paljudele mahukujudele.
Definitsioon ja üldised omadused
Geomeetrias tähistatakse perimeetrit suure ladina tähega "P" – ladinakeelsest sõnast perimeeter, mis omakorda pärineb vanakreeka sõnast περίμετρον (ring). Seda tunnust kasutati juba enne meie ajastut ja see võimaldas määrata maa ja muude tasaste pindade piire.
Kõiki nurki sisaldavaid kujundeid – alustades kolmnurgast ja lõpetades keerukate hulktahukatega – saab esitada joontena, mis on tähistatud suurte ladina tähtedega tähestiku järjekorras: a, b, c, d jne. Seega väljendatakse kolmnurga külgede summa alati kujul a + b + c ja trapetsi - a + b + c + d.
Lame hulknurga külgi saab esitada ka lõikudena kahe punkti vahel, mis on tähistatud suurte ladina tähtedega: AB, BC, CD jne. Olenemata kasutatavast tähistusest on ümbermõõt alati võrdne külgede pikkuste summaga ja seda käsitletakse samades ühikutes.
Ajalooline taust
Perimeetrite arvutamise vajadus tekkis iidsetel aegadel – siis, kui oli vaja maatükke piiritleda. Hiljem kasutati seda tunnust arhitektuuris ja ehituses: vundamentide rajamisel ja ehitusmaterjalide vajaliku koguse arvutamisel.
On teada, et Vana-Egiptuses arvutati ringi ümbermõõt 15.–14. sajandil eKr. Selleks kasutati konstanti, mida tänapäeval tuntakse numbrina "pi" (π) ja mis võrdub 3,14... Kuigi oma tänapäevase nime ja nimetuse sai see palju hiljem – 1706. aastal.
Muistsed egiptlased teadsid arvus π: 3,1415926535... kuni 10 kohta pärast koma, samas kui tänapäeva teadus teab 100 triljonit numbrit. Sellest hoolimata piisab isegi kahest märgist (3.14), et ümbermõõtu piisavalt suure täpsusega arvutada. Ja ringi pikkus on tegelikult ka selle ümbermõõt: P = 2πr või P = πd. Neid valemeid, kuid erineva tähistusega, teadsid muistsed egiptlased üle 3500 aasta tagasi.
Palju hiljem, 6.–5. sajandil eKr, kasutas Vana-Kreeka teadlane Pythagoras perimeetrite leidmiseks kaudselt trigonomeetriat.
Kuna perimeetri leidmise eelduseks on kolmnurga kõigi külgede tundmine, saab selle tundmatuid külgi teadaolevate nurkade abil leida. Selleks kasutas Pythagoras siinust - vastasjala ja hüpotenuusi suhet ning koosinust - külgneva jala ja hüpotenuusi suhet. Olles nii välja arvutanud külje soovitud pikkuse, saab selle lisada avaldisesse P = a + b + c ja leida kolmnurga ümbermõõt.
Ja 3.–2. sajandil eKr leidis mitte vähem kuulus Vana-Kreeka teadlane Archimedes meetodi perimeetrite määramiseks ligikaudse meetodiga: kasutades ringi ümber kirjeldatud korrapäraseid hulknurki.
Korrelatsioon pindalaga
Gomeetriliste kujundite perimeetrite uuringud viidi läbi paralleelselt nende pindalade arvutamisega. Vaatamata levinud arvamusele, et mida suurem on pindala, seda suurem on ümbermõõt, ei ole need omadused omavahel kuidagi seotud. Näiteks kui võtate ristküliku laiusega 0,001 suvalist ühikut ja pikkusega 1000 ühikut, on selle ümbermõõt 2000 ning ristküliku laiusega 0,5 ja pikkusega 2 on see võrdne 5-ga. sel juhul on mõlema ristküliku pindala võrdne ühega.
Mitmestruktuuriliste figuuride olukord tundub veelgi selgem. Nendes täheldatakse vastupidist mustrit: mida suurem on ümbermõõt, seda väiksem on ala ja vastupidi. See sai 5. sajandil pKr talupoegade vahel külvipindade ebaühtlase jaotumise põhjuseks. Teadmata sellest mustrist, jagasid nad maatükid mööda perimeetrit, mitte aga pindalade järgi, kuigi koristatud saagi kogus on alati võrdeline pindalaga, mitte perimeetriga. Sellest kirjutas antiikfilosoof Proclus Diadoch, Platoni Akadeemia juht.
Veidi hiljem, 6. sajandil pKr, võttis India kasutusele poolperimeetri definitsiooni – väärtust tähistatakse praegu valemites suure tähega "p". Seda kasutatakse paljude geomeetriliste kujundite pindalade arvutamiseks ja see võib nende kirjutamist oluliselt lihtsustada. Nagu nimigi ütleb, tuleb poolperimeetri arvutamiseks liita joonise kõigi külgede pikkused ja jagada tulemus kahega.
Pole täpselt teada, kes ja millal esimest korda ajaloos sellist tunnust perimeetrina praktilistel eesmärkidel kasutama hakkas. See oli olemas juba Vana-Egiptuses, kuid pole tõsi, et egiptlased selle leiutasid ja ringlusse lasid. Kogu järgneva tsivilisatsioonide ajaloo jooksul kasutati seda laialdaselt geomeetrilistes valemites ja tänapäeval on see koos pindala ja mahuga üks põhiomadusi.
