Υπολογιστής περιμέτρου

Η περίμετρος είναι ένα χαρακτηριστικό που μπορεί να αποδοθεί σε οποιαδήποτε επίπεδη (και όχι μόνο) φιγούρα. Τα όριά του μπορούν να χαρακτηριστούν από την περίμετρο ή το άθροισμα των μηκών των πλευρών. Αυτό το χαρακτηριστικό είναι επίσης κατάλληλο για πολλά ογκομετρικά σχήματα.

Ορισμός και γενικά χαρακτηριστικά

Στη γεωμετρία, η περίμετρος συμβολίζεται με το κεφαλαίο λατινικό γράμμα "P" - από τη λατινική λέξη perimeter, η οποία, με τη σειρά της, προέρχεται από την αρχαία ελληνική περίμετρον (κύκλος). Αυτό το χαρακτηριστικό χρησιμοποιήθηκε ακόμη και πριν από την εποχή μας και επέτρεψε τον προσδιορισμό των ορίων της γης και άλλων επίπεδων επιφανειών.

Όλα τα σχήματα που περιέχουν γωνίες - ξεκινώντας από ένα τρίγωνο και τελειώνουν με σύνθετα πολύεδρα - μπορούν να αναπαρασταθούν ως γραμμές, οι οποίες υποδεικνύονται με κεφαλαία λατινικά γράμματα με αλφαβητική σειρά: a, b, c, d κ.λπ. Έτσι, το άθροισμα των πλευρών ενός τριγώνου θα εκφράζεται πάντα ως a + b + c και των τραπεζοειδών - ως a + b + c + d.

Οι πλευρές ενός επίπεδου πολυγώνου μπορούν επίσης να αναπαρασταθούν ως τμήματα μεταξύ δύο σημείων, τα οποία συμβολίζονται με κεφαλαία λατινικά γράμματα: AB, BC, CD και ούτω καθεξής. Ανεξάρτητα από τον συμβολισμό που χρησιμοποιείται, η περίμετρος είναι πάντα ίση με το άθροισμα των μηκών των πλευρών και θεωρείται στις ίδιες μονάδες.

Ιστορικό υπόβαθρο

Η ανάγκη υπολογισμού των περιμέτρων προέκυψε στην αρχαιότητα - όταν ήταν απαραίτητο να οριοθετηθούν τα οικόπεδα. Στη συνέχεια, αυτό το χαρακτηριστικό χρησιμοποιήθηκε στην αρχιτεκτονική και τις κατασκευές: κατά την τοποθέτηση θεμελίων και τον υπολογισμό της απαιτούμενης ποσότητας δομικών υλικών.

Είναι γνωστό ότι η περίμετρος ενός κύκλου στην αρχαία Αίγυπτο υπολογίστηκε τον 15ο-14ο αιώνα π.Χ. Για αυτό, χρησιμοποιήθηκε μια σταθερά, γνωστή σήμερα ως ο αριθμός "pi" (π) και ίση με 3,14 ... Αν και έλαβε το σύγχρονο όνομα και τον χαρακτηρισμό της πολύ αργότερα - το 1706.

Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι γνώριζαν έως και 10 δεκαδικά ψηφία στον αριθμό π: 3.1415926535..., ενώ η σύγχρονη επιστήμη γνωρίζει 100 τρισεκατομμύρια ψηφία. Παρόλα αυτά, αρκούν ακόμη και δύο ζώδια (3.14) για τον υπολογισμό της περιφέρειας με αρκετά υψηλή ακρίβεια. Και το μήκος ενός κύκλου, μάλιστα, είναι και η περίμετρός του, αντίστοιχα: P = 2πr, ή P = πd. Αυτοί οι τύποι, αλλά με διαφορετική σημειογραφία, ήταν γνωστοί στους αρχαίους Αιγύπτιους πριν από περισσότερα από 3500 χρόνια.

Πολύ αργότερα, τον 6ο-5ο αιώνα π.Χ., ο αρχαίος Έλληνας επιστήμονας Πυθαγόρας χρησιμοποίησε έμμεσα την τριγωνομετρία για να βρει περιμέτρους.

Δεδομένου ότι η γνώση όλων των πλευρών ενός τριγώνου είναι απαραίτητη προϋπόθεση για την εύρεση της περιμέτρου, μπορούν να βρεθούν άγνωστες πλευρές χρησιμοποιώντας γνωστές γωνίες. Για αυτό, ο Πυθαγόρας χρησιμοποίησε το ημίτονο - την αναλογία του αντίθετου σκέλους προς την υποτείνουσα, και το συνημίτονο - την αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα. Έχοντας υπολογίσει έτσι το επιθυμητό μήκος της πλευράς, μπορεί να συμπεριληφθεί στην έκφραση P = a + b + c και να βρει την περίμετρο του τριγώνου.

Και τον 3ο-2ο αιώνα π.Χ., ο όχι λιγότερο διάσημος αρχαίος Έλληνας επιστήμονας Αρχιμήδης βρήκε έναν τρόπο να προσδιορίζει τις περιμέτρους κατά προσέγγιση: χρησιμοποιώντας κανονικά πολύγωνα που περιγράφονται γύρω από έναν κύκλο.

Συσχέτιση με περιοχή

Πραγματοποιήθηκαν μελέτες της περιμέτρου των γεωμετρικών σχημάτων παράλληλα με τους υπολογισμούς των εμβαδών τους. Παρά την κοινή πεποίθηση ότι όσο μεγαλύτερη είναι η περιοχή, τόσο μεγαλύτερη η περίμετρος, αυτά τα χαρακτηριστικά δεν σχετίζονται με κανέναν τρόπο. Για παράδειγμα, αν πάρετε ένα ορθογώνιο με πλάτος 0,001 αυθαίρετες μονάδες και μήκος 1000 μονάδες, η περίμετρός του θα είναι 2000 και για ένα ορθογώνιο με πλάτος 0,5 και μήκος 2 θα είναι ίσο με 5. Σε αυτήν την περίπτωση, το εμβαδόν και των δύο ορθογωνίων θα είναι ίσο με ένα.

Η κατάσταση με τα στοιχεία πολλαπλών δομών φαίνεται ακόμη πιο ξεκάθαρη. Σε αυτά παρατηρείται το αντίστροφο σχέδιο: όσο μεγαλύτερη είναι η περίμετρος, τόσο μικρότερη είναι η περιοχή και αντίστροφα. Τον 5ο αιώνα μ.Χ., αυτό έγινε η αιτία για την άνιση κατανομή των σπαρμένων εκτάσεων μεταξύ των αγροτών. Μη γνωρίζοντας για αυτό το μοτίβο, χώρισαν τα αγροτεμάχια κατά μήκος της περιμέτρου, και όχι σύμφωνα με τις εκτάσεις, αν και η ποσότητα της συγκομιδής είναι πάντα ανάλογη της έκτασης, όχι της περιμέτρου. Ο αρχαίος φιλόσοφος Πρόκλος Διάδοχος, ο επικεφαλής της Πλατωνικής Ακαδημίας, έγραψε σχετικά.

Λίγο αργότερα, τον 6ο αιώνα μ.Χ., η Ινδία εισήγαγε τον ορισμό της ημιπεριμέτρου, μια τιμή που σήμερα συμβολίζεται στους τύπους με το κεφαλαίο γράμμα «p». Χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των περιοχών πολλών γεωμετρικών σχημάτων και μπορεί να απλοποιήσει πολύ τη γραφή τους. Όπως υποδηλώνει το όνομα, για να υπολογίσετε την ημιπερίμετρο, πρέπει να προσθέσετε τα μήκη όλων των πλευρών του σχήματος και να διαιρέσετε το αποτέλεσμα με το δύο.

Δεν είναι γνωστό με βεβαιότητα ποιος και πότε για πρώτη φορά στην ιστορία άρχισε να χρησιμοποιεί ένα τέτοιο χαρακτηριστικό ως περίμετρο για πρακτικούς σκοπούς. Υπήρχε ήδη στην αρχαία Αίγυπτο, αλλά δεν είναι γεγονός ότι οι Αιγύπτιοι το επινόησαν και το έβαλαν στην κυκλοφορία. Σε όλη τη μετέπειτα ιστορία των πολιτισμών, χρησιμοποιήθηκε ευρέως σε γεωμετρικούς τύπους και σήμερα είναι ένα από τα θεμελιώδη χαρακτηριστικά, μαζί με την περιοχή και τον όγκο.

Πώς θα βρεις την περίμετρο (τύποι περιμέτρου)

Ένα από τα πιο σημαντικά γεωμετρικά χαρακτηριστικά είναι η περίμετρος, που είναι το συνολικό μήκος του περιγράμματος του σχήματος. Στην περίπτωση των στρογγυλεμένων μορφών (κύκλοι, οβάλ, ελλείψεις), αυτή είναι μια συμπαγής γραμμή και στην περίπτωση των πολυέδρων, πολλές γραμμές συνοψίζονται μεταξύ τους κατά μήκος.

Η περίμετρος είναι υψίστης σημασίας στον οικονομικό και βιομηχανικό τομέα. Για παράδειγμα, απαιτείται ο υπολογισμός του μήκους των περιφράξεων γύρω από τη γη, ο προσδιορισμός του μήκους των νημάτων που τυλίγονται στα καρούλια, ο προσδιορισμός της απόστασης που διανύει ένας τροχός κατά τη διάρκεια της πλήρους περιστροφής του.

Για τον υπολογισμό της περιμέτρου διαφορετικών γεωμετρικών σχημάτων, υπάρχουν τύποι που αξίζει να εξεταστούν λεπτομερέστερα.

Τρίγωνο

Υπάρχει μόνο ένας τρόπος για να προσδιοριστεί η περίμετρος οποιουδήποτε τριγώνου - οξύ, αμβλύ, ορθό και ισόπλευρο - γνωρίζοντας το μήκος κάθε πλευράς του. Μετά από αυτό, αρκεί να τα αντικαταστήσετε στον τύπο:

P = a + b + c.

Όπου "P" είναι η περίμετρος του σχήματος, τα a, b και c είναι τα μήκη των πλευρών του. Εάν μία από τις τιμές είναι άγνωστη, μπορεί να προσδιοριστεί από τις γωνίες ή χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Και μόνο μετά από αυτό - υπολογίστε την επιθυμητή περίμετρο.

Τετράγωνο

Σε αντίθεση με τα τρίγωνα, τα τετράγωνα υπολογίζονται χρησιμοποιώντας δύο τύπους: χρησιμοποιώντας τα μήκη των πλευρών και τις διαγώνιες. Οι τύποι μοιάζουν με αυτό:

P = 4 ⋅ a.
P = d ⋅ 2 ⋅ √2.

Συνεπώς, το a είναι το μήκος της πλευράς του τετραγώνου και το d είναι το μήκος της διαγωνίου του.

Ορθογώνιο και παραλληλόγραμμο

Ένα ορθογώνιο έχει 4 ορθές γωνίες, ενώ ένα παραλληλόγραμμο έχει 2 αμβλεία και 2 οξείες γωνίες. Παρά αυτή τη θεμελιώδη διαφορά, τα εμβαδά των σχημάτων υπολογίζονται χρησιμοποιώντας έναν ενιαίο, γενικό τύπο:

P = 2 ⋅ (a + b).

Με το a και το b εννοούνται δύο πλευρές του σχήματος που συνορεύουν μεταξύ τους, που διαφέρουν ως προς το μήκος. Τόσο σε ένα ορθογώνιο όσο και σε ένα παραλληλόγραμμο υπάρχουν πάντα 2 ζεύγη από αυτά.

Διαμάντι

Όλες οι πλευρές του ρόμβου είναι ίσες και μόνο οι γωνίες μεταξύ τους μπορεί να διαφέρουν. Επομένως, η περίμετρός του υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο με ένα τετράγωνο:

P = 4 ⋅ a.

Συνεπώς, το P είναι η περίμετρος του σχήματος, το a είναι το μήκος του προσώπου. Η έκφραση ισχύει για οποιονδήποτε ρόμβο, ανεξάρτητα από τις γωνίες μεταξύ των πλευρών.

Τραπεζοειδής

Ο τύπος για τον υπολογισμό της περιμέτρου ενός τραπεζοειδούς είναι επίσης στοιχειώδης και μοιάζει με αυτό:

P = a + b + c + d.

Δηλαδή ως το άθροισμα των μηκών των πλευρών a, b, c και d, που διαφέρουν μεταξύ τους. Δεν υπάρχει άλλος τρόπος για να έχετε το επιθυμητό αποτέλεσμα.

Κύκλος

Στην περίπτωση ενός κύκλου, η περίμετρος είναι ίση με την περιφέρεια του κύκλου, που σημαίνει ότι υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τυπικούς τύπους:

P = 2 ⋅ π ⋅ r.
P = π ⋅ δ.

Όπου r είναι η ακτίνα του κύκλου, d η διάμετρός του, π είναι μια σταθερά ίση με 3,1415...

Έτσι, ο υπολογισμός των περιμέτρων των επίπεδων σχημάτων είναι στοιχειώδεις μαθηματικές πράξεις, οι οποίες στις περισσότερες περιπτώσεις καταλήγουν σε μια απλή άθροιση των μηκών των πλευρών.

Με απλές, ακέραιες τιμές, μπορείτε να υπολογίσετε στο μυαλό σας ή σε ένα κομμάτι χαρτί. Αλλά για πιο σύνθετους υπολογισμούς, όπου τα μήκη των πλευρών παρουσιάζονται ως αριθμοί με μεγάλο αριθμό δεκαδικών ψηφίων, είναι ευκολότερο να χρησιμοποιήσετε μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή. Αρκεί να εισαγάγετε γνωστές τιμές στα κενά πεδία του και αφού πατήσετε το κουμπί, θα έχετε αμέσως το επιθυμητό αποτέλεσμα.

Υπολογιστής περιμέτρου

Άλλα εργαλεία