Der Umfang ist ein Merkmal, das jeder flachen (und nicht nur) Figur zugeschrieben werden kann. Seine Grenzen können durch den Umfang oder die Summe der Seitenlängen charakterisiert werden. Diese Eigenschaft eignet sich auch für viele Volumenfiguren.
Definition und allgemeine Merkmale
In der Geometrie wird der Umfang mit dem lateinischen Großbuchstaben „P“ bezeichnet – vom lateinischen Wort Perimeter, das wiederum vom altgriechischen περίμετρον (Kreis) stammt. Dieses Merkmal wurde bereits vor unserer Zeitrechnung verwendet und ermöglichte die Bestimmung der Grenzen von Land und anderen ebenen Flächen.
Alle Formen, die Winkel enthalten – beginnend mit einem Dreieck und endend mit komplexen Polyedern – können als Linien dargestellt werden, die durch lateinische Großbuchstaben in alphabetischer Reihenfolge angezeigt werden: a, b, c, d usw. Daher wird die Summe der Seiten eines Dreiecks immer als a + b + c und bei Trapezen als a + b + c + d ausgedrückt.
Die Seiten eines flachen Polygons können auch als Segmente zwischen zwei Punkten dargestellt werden, die durch lateinische Großbuchstaben gekennzeichnet werden: AB, BC, CD usw. Unabhängig von der verwendeten Schreibweise ist der Umfang immer gleich der Summe der Seitenlängen und wird in denselben Einheiten betrachtet.
Historischer Hintergrund
Die Notwendigkeit, den Umfang zu berechnen, entstand in der Antike, als es notwendig war, Grundstücke abzugrenzen. Anschließend wurde diese Eigenschaft in der Architektur und im Bauwesen verwendet: bei der Fundamentlegung und der Berechnung der benötigten Menge an Baumaterialien.
Es ist bekannt, dass der Umfang eines Kreises im alten Ägypten bereits im 15.-14. Jahrhundert v. Chr. berechnet wurde. Hierzu wurde eine Konstante verwendet, die heute als Zahl „pi“ (π) bekannt ist und 3,14 entspricht ... Obwohl sie ihren modernen Namen und ihre moderne Bezeichnung erst viel später erhielt – im Jahr 1706.
Die alten Ägypter kannten bis zu 10 Dezimalstellen in der Zahl π: 3,1415926535..., während die moderne Wissenschaft 100 Billionen Stellen kennt. Dennoch genügen bereits zwei Vorzeichen (3.14), um den Umfang mit ausreichend hoher Genauigkeit zu berechnen. Und die Länge eines Kreises ist tatsächlich auch sein Umfang: P = 2πr oder P = πd. Diese Formeln, allerdings mit unterschiedlicher Schreibweise, waren den alten Ägyptern vor über 3500 Jahren bekannt.
Viel später, im 6.–5. Jahrhundert v. Chr., nutzte der antike griechische Wissenschaftler Pythagoras indirekt die Trigonometrie, um Umfänge zu ermitteln.
Da die Kenntnis aller Seiten eines Dreiecks eine Voraussetzung für die Bestimmung des Umfangs ist, können unbekannte Seiten mithilfe bekannter Winkel ermittelt werden. Dazu verwendete Pythagoras den Sinus – das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse, und den Kosinus – das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse. Nachdem Sie auf diese Weise die gewünschte Seitenlänge berechnet haben, können Sie sie in den Ausdruck P = a + b + c einbeziehen und den Umfang des Dreiecks ermitteln.
Und im 3.-2. Jahrhundert v. Chr. fand der nicht minder berühmte antike griechische Wissenschaftler Archimedes eine Möglichkeit, die Umfänge durch Näherung zu bestimmen: mithilfe regelmäßiger Polygone, die um einen Kreis herum beschrieben werden.
Korrelation mit Fläche
Untersuchungen der Umfänge geometrischer Figuren wurden parallel zu den Berechnungen ihrer Flächen durchgeführt. Trotz der weit verbreiteten Meinung, dass der Umfang umso größer ist, je größer die Fläche ist, hängen diese Merkmale in keiner Weise zusammen. Wenn Sie beispielsweise ein Rechteck mit einer Breite von 0,001 willkürlichen Einheiten und einer Länge von 1000 Einheiten nehmen, beträgt sein Umfang 2000, und für ein Rechteck mit einer Breite von 0,5 und einer Länge von 2 beträgt er 5. In In diesem Fall ist die Fläche beider Rechtecke gleich eins.
Noch klarer sieht die Situation bei Multistrukturfiguren aus. Bei ihnen ist das umgekehrte Muster zu beobachten: Je größer der Umfang, desto kleiner die Fläche und umgekehrt. Dies war im 5. Jahrhundert n. Chr. der Grund für die ungleiche Verteilung der Anbauflächen unter den Bauern. Ohne dieses Muster zu kennen, teilten sie die Parzellen entlang des Umfangs und nicht nach Flächen auf, obwohl die Menge der geernteten Ernte immer proportional zur Fläche und nicht zum Umfang ist. Darüber schrieb der antike Philosoph Proklos Diadoch, der Leiter der Platonischen Akademie.
Ein wenig später, im 6. Jahrhundert n. Chr., führte Indien die Definition des Halbumfangs ein, ein Wert, der heute in Formeln mit dem Großbuchstaben „p“ bezeichnet wird. Es wird zur Berechnung der Flächen vieler geometrischer Formen verwendet und kann deren Schreiben erheblich vereinfachen. Wie der Name schon sagt, müssen Sie zur Berechnung des Halbumfangs die Längen aller Seiten der Figur addieren und das Ergebnis durch zwei dividieren.
Es ist nicht sicher bekannt, wer und wann zum ersten Mal in der Geschichte begann, ein solches Merkmal als Umfang für praktische Zwecke zu nutzen. Es existierte bereits im alten Ägypten, aber es ist keine Tatsache, dass es die Ägypter waren, die es erfunden und in Umlauf gebracht haben. Im Laufe der weiteren Zivilisationsgeschichte wurde es häufig in geometrischen Formeln verwendet und ist heute neben Fläche und Volumen eines der grundlegenden Merkmale.
