Калкулатор за периметър

Периметърът е характеристика, която може да се припише на всяка плоска (и не само) фигура. Неговите граници могат да се характеризират с периметъра или сумата от дължините на страните. Тази характеристика е подходяща и за много обемни фигури.

Дефиниция и общи характеристики

В геометрията периметърът се обозначава с главната латинска буква "P" - от латинската дума perimeter, която от своя страна идва от старогръцката περίμετρον (кръг). Тази характеристика е била използвана още преди нашата ера и е позволила да се определят границите на земята и други плоски повърхности.

Всички фигури, които съдържат ъгли - започващи с триъгълник и завършващи със сложни полиедри - могат да бъдат представени като линии, които са обозначени с главни латински букви в азбучен ред: a, b, c, d и т.н. Така сборът от страните на триъгълник винаги ще се изразява като a + b + c, а трапецът - като a + b + c + d.

Страните на плосък многоъгълник също могат да бъдат представени като сегменти между две точки, които се означават с главни латински букви: AB, BC, CD и т.н. Независимо от използваната нотация, периметърът винаги е равен на сумата от дължините на страните и се счита в едни и същи единици.

Исторически контекст

Необходимостта от изчисляване на периметри е възникнала в древни времена - когато е било необходимо да се разграничат парцели. Впоследствие тази характеристика се използва в архитектурата и строителството: при полагане на основи и изчисляване на необходимото количество строителни материали.

Известно е, че периметърът на кръг в древен Египет е бил изчислен още през 15-14 век пр.н.е. За това е използвана константа, известна днес като числото "пи" (π) и равна на 3,14 ... Въпреки че получава съвременното си име и обозначение много по-късно - през 1706 г.

Древните египтяни са знаели до 10 знака след десетичната запетая в числото π: 3.1415926535..., докато съвременната наука познава 100 трилиона цифри. Независимо от това дори два знака (3.14) са достатъчни, за да се изчисли обиколката с достатъчно висока точност. А дължината на окръжност всъщност е и нейният периметър, съответно: P = 2πr, или P = πd. Тези формули, но с различна нотация, са били известни на древните египтяни преди повече от 3500 години.

Много по-късно, през 6-5 век пр.н.е., древногръцкият учен Питагор косвено използва тригонометрията, за да намери периметри.

Тъй като познаването на всички страни на триъгълник е предпоставка за намиране на периметъра, неизвестните страни могат да бъдат намерени с помощта на известни ъгли. За това Питагор използва синуса - съотношението на противоположния катет към хипотенузата и косинуса - отношението на съседния катет към хипотенузата. След като изчислите желаната дължина на страната, тя може да бъде включена в израза P = a + b + c и да разберете периметъра на триъгълника.

А през 3-ти-2-ри век пр. н. е. не по-малко известният древногръцки учен Архимед намира начин да определи периметрите чрез приближение: използвайки правилни многоъгълници, описани около кръг.

Корелация с площ

Изследванията на периметрите на геометричните фигури са извършени успоредно с изчисленията на техните площи. Въпреки общоприетото мнение, че колкото по-голяма е площта, толкова по-голям е периметърът, тези характеристики не са свързани по никакъв начин. Например, ако вземем правоъгълник с ширина 0,001 произволни единици и дължина 1000 единици, неговият периметър ще бъде 2000, а за правоъгълник с ширина 0,5 и дължина 2 той ще бъде равен на 5. В в този случай площта на двата правоъгълника ще бъде равна на единица.

Ситуацията с многоструктурните фигури изглежда още по-ясна. При тях се наблюдава обратната закономерност: колкото по-голям е периметърът, толкова по-малка е площта и обратно. През V в. от н. е. това става причина за неравномерното разпределение на посевните площи сред селяните. Без да знаят за този модел, те разделиха парцелите по периметъра, а не според площите, въпреки че количеството на събраната реколта винаги е пропорционално на площта, а не на периметъра. За това пише древният философ Прокъл Диадох, ръководител на Платоновата академия.

Малко по-късно, през 6-ти век сл. н. е., Индия въвежда определението за полупериметър, стойност, която сега се обозначава във формулите с главната буква „p“. Използва се за изчисляване на площите на много геометрични фигури и може значително да опрости тяхното писане. Както подсказва името, за да изчислите полупериметъра, трябва да съберете дължините на всички страни на фигурата и да разделите резултата на две.

Не е известно със сигурност кой и кога за първи път в историята започна да използва такава характеристика като периметър за практически цели. Той вече е съществувал в древен Египет, но не е факт, че египтяните са го измислили и пуснали в обращение. През последвалата история на цивилизациите той е бил широко използван в геометричните формули, а днес е една от основните характеристики, наред с площта и обема.

Как да намерите периметъра (формули за периметър)

Една от най-важните геометрични характеристики е периметърът, който е общата дължина на границата на формата. В случай на закръглени фигури (кръгове, овали, елипси) това е една плътна линия, а в случай на полиедри - няколко линии, сумирани една с друга по дължина.

Периметърът е от изключително значение в икономическия и индустриалния сектор. Например, необходимо е да се изчисли дължината на оградите около земята, да се определи дължината на нишките, навити на макари, да се определи разстоянието, което едно колело изминава по време на пълния си оборот.

За да изчислите периметрите на различни геометрични фигури, има формули, които си струва да разгледате по-подробно.

Триъгълник

Има само един начин да се определи периметърът на всеки триъгълник - остър, тъп, правоъгълен и равностранен - като се знае дължината на всяка от страните му. След това е достатъчно да ги замените във формулата:

P = a + b + c.

Където "P" е периметърът на фигурата, a, b и c са дължините на нейните страни. Ако една от стойностите е неизвестна, тя може да се определи от ъглите или с помощта на тригонометрични функции. И едва след това - изчислете необходимия периметър.

Квадрат

За разлика от триъгълниците, квадратите се изчисляват с помощта на две формули: с помощта на дължините на страните и диагоналите. Формулите изглеждат така:

P = 4 ⋅ a.
P = d ⋅ 2 ⋅ √2.

Съответно a е дължината на страната на квадрата, а d е дължината на неговия диагонал.

Правоъгълник и успоредник

Правоъгълникът има 4 прави ъгъла, докато успоредникът има 2 тъпи и 2 остри ъгъла. Въпреки тази фундаментална разлика, площите на фигурите се изчисляват с помощта на една обща формула:

P = 2 ⋅ (a + b).

Под a и b се имат предвид две страни на фигурата, граничещи една с друга, различни по дължина. И в правоъгълника, и в успоредника винаги има 2 двойки от тях.

Диамант

Всички страни на ромба са равни и само ъглите между тях могат да се различават. Следователно неговият периметър се изчислява по същата формула като квадрат:

P = 4 ⋅ a.

Съответно P е периметърът на фигурата, a е дължината на лицето. Изразът е валиден за всеки ромб, независимо от ъглите между страните.

Трапец

Формулата за изчисляване на периметъра на трапец също е елементарна и изглежда така:

P = a + b + c + d.

Тоест като сбор от дължините на страните a, b, c и d, които са различни една от друга. Няма друг начин да получите желания резултат.

Кръг

В случай на окръжност периметърът е равен на обиколката на окръжността, което означава, че се изчислява с помощта на стандартни формули:

P = 2 ⋅ π ⋅ r.
P = π ⋅ d.

Където r е радиусът на окръжността, d е нейният диаметър, π е константа, равна на 3,1415...

По този начин изчисляването на периметрите на равнинни фигури е елементарна математическа операция, която в повечето случаи се свежда до просто сумиране на дължините на страните.

С прости, цели числа можете да изчислявате наум или на лист хартия. Но за по-сложни изчисления, при които дължините на страните са представени като числа с голям брой десетични знаци, е по-лесно да използвате онлайн калкулатор. Достатъчно е да въведете известни стойности в празните му полета и след натискане на бутона незабавно ще получите желания резултат.

Калкулатор за периметър

Други инструменти