Периметърът е характеристика, която може да се припише на всяка плоска (и не само) фигура. Неговите граници могат да се характеризират с периметъра или сумата от дължините на страните. Тази характеристика е подходяща и за много обемни фигури.
Дефиниция и общи характеристики
В геометрията периметърът се обозначава с главната латинска буква "P" - от латинската дума perimeter, която от своя страна идва от старогръцката περίμετρον (кръг). Тази характеристика е била използвана още преди нашата ера и е позволила да се определят границите на земята и други плоски повърхности.
Всички фигури, които съдържат ъгли - започващи с триъгълник и завършващи със сложни полиедри - могат да бъдат представени като линии, които са обозначени с главни латински букви в азбучен ред: a, b, c, d и т.н. Така сборът от страните на триъгълник винаги ще се изразява като a + b + c, а трапецът - като a + b + c + d.
Страните на плосък многоъгълник също могат да бъдат представени като сегменти между две точки, които се означават с главни латински букви: AB, BC, CD и т.н. Независимо от използваната нотация, периметърът винаги е равен на сумата от дължините на страните и се счита в едни и същи единици.
Исторически контекст
Необходимостта от изчисляване на периметри е възникнала в древни времена - когато е било необходимо да се разграничат парцели. Впоследствие тази характеристика се използва в архитектурата и строителството: при полагане на основи и изчисляване на необходимото количество строителни материали.
Известно е, че периметърът на кръг в древен Египет е бил изчислен още през 15-14 век пр.н.е. За това е използвана константа, известна днес като числото "пи" (π) и равна на 3,14 ... Въпреки че получава съвременното си име и обозначение много по-късно - през 1706 г.
Древните египтяни са знаели до 10 знака след десетичната запетая в числото π: 3.1415926535..., докато съвременната наука познава 100 трилиона цифри. Независимо от това дори два знака (3.14) са достатъчни, за да се изчисли обиколката с достатъчно висока точност. А дължината на окръжност всъщност е и нейният периметър, съответно: P = 2πr, или P = πd. Тези формули, но с различна нотация, са били известни на древните египтяни преди повече от 3500 години.
Много по-късно, през 6-5 век пр.н.е., древногръцкият учен Питагор косвено използва тригонометрията, за да намери периметри.
Тъй като познаването на всички страни на триъгълник е предпоставка за намиране на периметъра, неизвестните страни могат да бъдат намерени с помощта на известни ъгли. За това Питагор използва синуса - съотношението на противоположния катет към хипотенузата и косинуса - отношението на съседния катет към хипотенузата. След като изчислите желаната дължина на страната, тя може да бъде включена в израза P = a + b + c и да разберете периметъра на триъгълника.
А през 3-ти-2-ри век пр. н. е. не по-малко известният древногръцки учен Архимед намира начин да определи периметрите чрез приближение: използвайки правилни многоъгълници, описани около кръг.
Корелация с площ
Изследванията на периметрите на геометричните фигури са извършени успоредно с изчисленията на техните площи. Въпреки общоприетото мнение, че колкото по-голяма е площта, толкова по-голям е периметърът, тези характеристики не са свързани по никакъв начин. Например, ако вземем правоъгълник с ширина 0,001 произволни единици и дължина 1000 единици, неговият периметър ще бъде 2000, а за правоъгълник с ширина 0,5 и дължина 2 той ще бъде равен на 5. В в този случай площта на двата правоъгълника ще бъде равна на единица.
Ситуацията с многоструктурните фигури изглежда още по-ясна. При тях се наблюдава обратната закономерност: колкото по-голям е периметърът, толкова по-малка е площта и обратно. През V в. от н. е. това става причина за неравномерното разпределение на посевните площи сред селяните. Без да знаят за този модел, те разделиха парцелите по периметъра, а не според площите, въпреки че количеството на събраната реколта винаги е пропорционално на площта, а не на периметъра. За това пише древният философ Прокъл Диадох, ръководител на Платоновата академия.
Малко по-късно, през 6-ти век сл. н. е., Индия въвежда определението за полупериметър, стойност, която сега се обозначава във формулите с главната буква „p“. Използва се за изчисляване на площите на много геометрични фигури и може значително да опрости тяхното писане. Както подсказва името, за да изчислите полупериметъра, трябва да съберете дължините на всички страни на фигурата и да разделите резултата на две.
Не е известно със сигурност кой и кога за първи път в историята започна да използва такава характеристика като периметър за практически цели. Той вече е съществувал в древен Египет, но не е факт, че египтяните са го измислили и пуснали в обращение. През последвалата история на цивилизациите той е бил широко използван в геометричните формули, а днес е една от основните характеристики, наред с площта и обема.
